Мустакил иш

Дискрет максимум принципи
1- теорема, (дискрет максимум принципи). Айтайлик — ушбу
(17) тўплами каварик булган (1) — (3) масаланинг оптимал бошқаруви ва траекторияси бўлсин.
У холда ва (6) (10) қушма тизимнинг траекторияси буйлаб (16) максимум шарти бажарилади.
Исботи. Айтайлик, теорема уринли булмасин, яъни бирор (6) лар учун тенгсизлик бажарилсин. У холда ушбу
(18)
тенгликни каноатлантирувчи - вектор функцияни курамиз. (17) тўпламнинг кавариклигидан бундай функция мавжуддир (VII.19- чизма). ни (14) га нинг урнига куямиз. У ҳолда бевосита хисоблашлар ёрдамида текширсак, яъни булади. Агар (18)
тенгликни (15) да фойдалансак,

ни оламиз . Бу ердан етарли кичик ларда эканлиги келиб чикади. Бу бошқарувнинг оптималлигига зиддир. Теорема исботланди. (17) шарт 1-теореманинг уринли булиши учун мухимдир. Масалан,

масалада оптимал бошқарув максимум
принципини қаноатлантирмайди. Ҳақиқатдан,

Бундан оптимал траектория буйлаб, ни оламиз.
функция нуктада (16) максимумга эмас, балки минимумга эришади.
(1)—(3) масала етарли кичик ларда 2-§ да текширилган терминал бошқарувнинг энг содда масаласига якиндир. Бу масалаларда оптималликнинг зарурий шартлари орасидаги борланиш куйидаги даъво ёрдамида берилади.
2- теорема (квазимаксимум принципи) Айтлик берилган ларда (1) тизимнинг жоиз траекториялари бўйича текис чегараланган бўлсин. У холда ихтиёрил сон учун шундай сон топиладики, булган (1) — (3) масаланинг хар бир оптимал бошқаруви (1,) (6), (10) тизимларнинг унга мос ечимлари билан бирга максимум шартини қаноатлантиради:

барча лар учун.
Исботи. Фараз қилайлик, теорема уринли булмасин: шундай сон мавжуд булиб, хар бир етарли кичик учун шундай ва лар топилсинки,

бўлсин. бошқарувга (13) вариацияни куллаймиз. 2- § дагига ухшаш курсатиш мумкинки, траектория ларнинг текис чегараланганлигидан узгармас ни га бошлик булмаганда танлаш мумкин. Орттирма формуласи (15) дан
(19)
ни оламиз.
Исталган лар учун ва сон га борлик булмаганлигидан (19) нинг унг томони етарли кичик ларда нолдан кичикдир: бу эса нинг оптималлигига зиддир. Теорема исботланди.