Oddiy differensial tenglamalar “ fanidan kurs ishi mavzu: “Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar. Oraliq integrallar.”

Misollar.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Noma’lum funksiya qatnashmagan yuqori tartibli

differensial tenglamalar

F(x,y^(k),y^(k+1), … ,y⁽ⁿ⁾)=0 (1) tenglamani integrallash uchun y^(k)=z (2) almashtirishni olamiz.

Bundan y^(k+1)=z y^(k+2)=z'', … , y⁽ⁿ⁾=z^(n-k)

Bularga asosan (1) tenglamani

F(x, z, z', … ,z^(n-k))= 0 (3) ko’rinishga keltiramiz.

Faraz etamiz (3) tenglamaning umumiy integrali

ɸ( x, z, c₁, c₂, … , c_n-k)=0 (4) bo’lsin.

Bundagi z o’rniga (2) dan uning qiymatini keltirib qo’ysak

ɸ( y^(k), x, c₁, c₂, … , c_n-k)=0 (5)

ga ega bo’lamiz. Bu (1) tenglamaning oraliq integralidir.

Agar (5) ni y^(k) ga nisbatan yechsak

y^(k)= f(x, c₁, c₂, … ,c_n-k)

birinchi tipdagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamani k- marta ketma –ket integrallash natijasida (1) tenglamaning umumiy yechimi

y=φ (x, c₁, c₂, … ,c_n-k, … ,c_n) ga ega bo’lamiz.

1-Misol. 4yʹ+yʹ²= 4xyʹʹ

yʹ=z, yʹʹ= zʹ 4z+z²=4xzʹ

= + =4 =

₁x= z=c₁xz+4c₁x z= yʹ=

=4 dx+c₂=4

Misollar.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Argument qatnashmagan yuqori tartibli differensial

tenglamalar

F(y, yʹ, yʹʹ, … ,y⁽ⁿ⁾)= 0 (1)

Bunday ko’rinishidagi tenglamada y ni argument , yʹ ni funksiya sifatida qabul qilib yʹ=p almashtirish yordamida tenglama tartibini 1 taga pasaytirish mumkin. Buning uchun F dan y bo’yicha olingan

yʹ, yʹʹ, … , y⁽ⁿ⁾ hosilalarni p dan y ga nisbatan olingan hosilalar bilan almashtiramiz:

p=p(y) yʹ= =p ; yʹʹ= = = ∙ =p

y^m= =p

…………………………………………………………

y⁽ⁿ⁾=pw( p, pʹ,pʹʹ, … ,p^(n-1))

Bu topilgan qiymatlarni (1) tenglamaga qo’ysak, quyidagiga ega bo’lamiz:

F(y, p, pp_yʹ, … , pw(p, pʹ, pʹʹ, … , p^(n-1))=0 (2)

Faraz qilaylik (2) tenglamaning umumiy integrali ɸ (y, p, c₁, … ,c_n-1)= 0 ni p ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin :

P=φ (y, c₁, c₂, … , c_n-1) bundan c₁, c₂, … , c_n-1)

dy=φ(y, c₁, c₂, … ,c_n-1)dx =dx x+c_n=

Bu (1) tenglamaning umumiy integralidir.

2- Misol. 1+yʹ²=2yyʹʹ yʹ=p yʹʹ=p

1+p²=2yp = + =

1+p²=c₁y p²=c₁y-1 p=

=dx =x+c₂ 4(c₁y-1)=c₁²(x+c₂₎²

Misollar.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

II Bob. Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar.

Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar va ularning

xossalari

1.Agar tenglamada noma`lum funksiya, uning – tartibligicha hosilalari ishtirok etmasa, boshqacha qilib aytganda, tenglama

(1)

ko’rinishda bo’lsa, bunday tenglamaning tartibi almashtirish yordamida pasaytiriladi.