O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti amaliy matematika yo’nalishi

2.2. Issiqlik tarqalish tenglamalariga qo’yilgan masalalarni Fur’e usulida yechish.
Yarim chegaralangan sterjenda issiqlik tarqalish jarayonini qaraymiz. Buning uchun

bir jinsli tenglamani

boshlang’ich shart bilan va quyidagi chegariy shartlar bilan yeching:
1. Sterjenni uchi x=0 mahkamlangan:

yoki
2. O’zgarmas temperaturada sterjenning uchi x = 0 nuqtada mahkamlangan:

Bir jinsli tenglama va uning yechimini o’zgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechamiz:


O’zgaruvchilarni ajratuvchi o’zgarmas almashtirib olamiz:


Natijada umumiy yechim quyidagi ko’rinishni oladi:

funksiya – ixtiyoriy uchun tenglamaning yechimi bo’lib (bu yerda - qiymati dan gacha intervalda bo’lgan ixtiyoriy o’zgaruvchi parametr), bu yerda har bir uchun va koeffitsiyetlar mos tushadi.
Shuning uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

va koeffitsiyentlarni aniqlashda boshlang’ich shartlardan foydalanamiz:

Bu ifoda funksiyani Fur’ye integraliga yoyish bilan ustma ust tushadi:

Demak, va koeffitsiyetlar quyidagicha ifodalanadi:



Olingan ifodani almashtirish mumkin.
Buning uchun quyidagi integralni qaraymiz:

O’zgaruvchilarni almashtirib olamiz va integral ostidagi ifodani almashtiramiz:



Natijada yechim quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Sterjen yarim chegaralangan holda x=0 nuqtada chegaraviy shart zaruriydir.
1.Sterjenning uchi x = 0 nuqtada mahkamlangan:

Bu holda f(x) ni manfiy yarim o’qda juft davom ettiramiz:
.

O’zgaruvchini almashtirib olamiz:

Bu yerda integral ostidagi ifoda toq; shuningdek integral nolga teng va x = 0 nuqtadagi chegaraviy shart bajariladi.
Bunda yechimni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

2.O’zgarmas temperaturada sterjenning uchi x=0 nuqtada mahkamlangan :

Bu masalani yechish uchun chegaraviy shartni bir jinsliga almashtiramiz:

Bunda F(x) ni manfiy o’q bo’yicha toq davom ettiramiz:

Bu holda masalani yechimi:

Natija quyidagiga ega bo’lamiz:


funksiya toq ekanligini hisobga olib, quyidagiga ega bo’llamiz:

yoki

bu yerda:

Bu integralni hisoblash uchun almashtirish olamiz:



Shuningdek, quyidagiga ega bo’lamiz:

Misol:
Bir jinsli tenglamani

Quyidagi chegariv shart(o’zgarmas temperaturada sterjenning uchi x=0 nuqtaga mahkamlangan(0
va boshlang’ich shart bilan yeching

Bu yerda funksiya quyidagi ko’rinishda berilgan:


Yechish uchun yuqoridagi formuladan foydalanamiz:

Tengalamani yechimi:

Olingan yechimni bir nechta vaqt momentlarida ikki o’lchovli grafik ko’rinishida tasvirlaymiz:





Xulosa
Mazkur kurs ishi 2ta bob, 4ta mavzu, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar va foydalanilgan saytlardan iborat bo’lib uni o’rganishimizdan maqsad “Differensial tenglamalar va matematik fizika” fanidagi “ Bir o’lchovli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni Fur’e usulida yechish“ mavzusini kengroq yoritib berish. Biz bu mavzuni o’rganishimiz uchun avval “ Differensial tenglamalar “, “Differensial tenglamalarni matematik fizikadagi o‘rni“, „Fur’e usuli“ mavzulari haqida ma’lumotlarga(tushunchaga) ega bo’lishimiz kerak. Bu tushunchalarga ega bo’lganimizdan keyin ushbu mavzuga oid bo’lgan barcha misollarni ishlay olamiz.
Mazkur kurs ishi “Bir o’lchovli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni Fur’e usulida yechish” mavzusida bo’ib, bu kurs ishini yozish mobaynida quyidagilarni o’rgandim:
1) Differsial tenglamalar, ularning turlari va xossalari;
2) Differensial tenglamalarni matematik fizikadagi o‘rni;
3) Xususiy xosilali differensial tenglamalar;
4) Issiqlik tenglamalari;
Va shu bilan birga bu mavzularga doir bir qator misollar bilan tanishdim. O’qishimning keyingi bosqichlarida differensiyal tenglamalar haqida ko’proq ko’nikmalarni paydo qilish va ularning hayotimizga tadbig’ini o’rganishga harakat qilaman.