O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti amaliy matematika yo’nalishi

I BOB. Differensial tenglamalar.
1.1. Differensial tenglamalar haqida tushuncha, ta’rifi.

Differensial tenglama deb, erkli o ‘zgaruvchi x, no’malum y=f(x) funksiya va uning hosilalari orasidagi bog'lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:

(1)
1-ta’rif. Agar izlanayotgan funksiya y=f(x) bitta erkli o ‘zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, u holda differensial tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi.
Umuman, noma’lum funksiya ko‘p argumentli bo’lgan hollar ham tez-tez uchraydi. Bunday holda differensial tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb ataladi. Biz faqat oddiy differensial tenglamalar bilan shug'ullanamiz.
2-ta'rif. Differsial tenglamaning tartibi deb, tenglamada qatnashgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi. Masalan, ( y')² + 2 y ' + xy³ = 0 tenglama birinchi tartibli differensial tcnglamadir.
Mana bu ( y") + ay' + by + cosx = 0 tenglama esa ikkinchi tartibli differensial tenglama.
3 - ta ’rif. Differsial tenglamaning yechimi yoki integrali deb, differensial tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y =f (x) funksiyaga aytiladi.
Masalan, ushbu tenglama berilgan bo‘lsin:

y=sinx, y=2cosx , у=3sinx - cosx funksiyalar, umuman, y=C₁ sin x, у=C₂cosx yoki y=C₁sinx + C₂cosx ko’rinishidagi funksiyalar C₁ va C₂ o‘zgarmas miqdorlarning har qanday qiymatlar ula ham berilgan differensial tenglamaning yechimi bo'ladi. Buning to’g’riligiga ko‘rsatilgan funksiyalarni berilgan tenglamaga qo'yib ko'rib, ishonish mumkin.
4-ta’rif. Bir xil yo’nalish maydoniga ega bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rniga izoklina deyiladi.
Izoklinalarga ko’ra, differensial tenglamalarning integral chiziqlarni chizish mumkin.
Izoklinalar usuli.
Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo’lsin.
(2)
Differensial tenglamaning integral chiziqlarini chizish uchun quyidagi ishlarni bajarish kerak.
1. Agar berilgan differensial tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan bo’lsa, dastavval uni hosilaga nisbatan yechib olamiz.
2. Integral chiziqlarning chapdan ungga tomon harakat etganda, uning yunalishini aniqlaymiz:

sharti bajarilgan sohada integral chiziqlar Yuqoriga qarab yunaladi

sharti bajariladigan sohada integral chiziqlar pastga qarab yo’naladi.
3. Differensial tenglamaning izoklinarlar oilasi tenglamasini tuzamiz.
f (x, y)  k (k  0; 1; 2,.... )
Bunda k-parametr.
Bu izoklinalar ichida eng ahamiyatlisi k= 0;k= 1 qiymatdagi izoklinadir. k=0 bo’lganda berilgan differensial tenglama
f x, y  0
ko’rinishni oladi.
Bu integral chiziqlarning maksimum va minimum yotadigin nuqtalarining geometrik o’rni bo’lib,

sharti bajariladigan sohada integral chiziqlarining minimum nuqtalari yotadi.

sharti bajariladigan sohada integral chiziqlarning maksimum nuqtalari yotadi.
k  1 bo’lsa, f (x, y)  1 izoklinani hosil qilamiz.
Integral chiziqlar, bu izoklina bilan kesishgan nuqtalarida burchak koeffisiyenti –1 ga teng bo’lgan urinmalarga ega bo’ladi. Ya’ni ular o’zaro 135⁰ burchak ostida kesishadi k  1 bo’lganda f (x, y)  1 izoklina tenglamasiga ega bo’lamiz. Integral chiziqlari bu izoklina chizig’i bilan burchak koeffisiyenti tg  1 ya’ni 45⁰ burchak ostida kesishadi. Integral chiziqlarni yanada aniqroq chizish uchun bukilish nuqtalarining geometrik o’rnini topamiz. Ma’lumki bukilish nuqtalarining geometrik o’rni, ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirish yo’li bilan aniqlanadi. (1.2) tenglamaga asosan ni topamiz:

Bundan
=0 (3)
(3)tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq bukulish nuqtalarining geometrik o’rnini aniqlaydi.
Bunda

shartini qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari botiq  bo’lib,

shartni kanotlantiruvchi sohada integral chiziqlari qavariq  bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan ma’lumotlarga asoslanib, berilgan differensial tenglamaning integral chiziqlarini chizish mumkin.