O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika-informatika

Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari
1 – misol. funksiyaning ekstremumini toping.

Avvalo kritik nuqtalarni topamiz. Buning uchun ikki o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilani topib, ularni nolga tenglab, sistemani yechamiz:

Bu sistema sistemaga teng kuchli.

Bu sistemaning yechimi , bo‘ladi. Demak (-2; 0) kritik nuqta. II tartibli xususiy hosilalarni ko`rinishda belgilab, ularni kritik nuqtalardagi qiymatlarini topamiz:

, ,

Bundan , bo‘lgani uchun

(-2;0) da funksiya ekstremumga ega A>0 bo‘lgani uchun (-2; 0) minimumga ega.

2 – misol. doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:

Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.

2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz:

3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.

Bu sohaning chegarasi x²+y²=4 aylanadan iborat, y²=4-x² buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x²-(4-x²), z=2x²-4, x²+y²=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun , shunnig uchun z=2x²-4 funksiyaning dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0

b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z₂(0)=-4 ni topamiz.

c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃

z₄(2)=2*2²-4=4, z₃(-2)=2*(-2)²-4=4

4) Topilgan z_1, z₂, z₃, z₄ qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.

3 – misol. doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:

Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.

2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz:

3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.

Bu sohaning chegarasi x²+y²=4 aylanadan iborat, y²=4-x² buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x²-(4-x²), z=2x²-4, x²+y²=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun , shunnig uchun z=2x²-4 funksiyaning dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0

b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z₂(0)=-4 ni topamiz.

c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃

z₄(2)=2*2²-4=4, z₃(-2)=2*(-2)²-4=4

4) Topilgan z_1, z₂, z₃, z₄ qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.

4 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.

Yechilishi:

Kritik nuqtalarini topamiz:

tenglamalar sistemasini yechib , , larni topamiz . kritik nuqta bo’ladi , chunki berilgan funksiya tekislikda aniqlangan.

kritik nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning qiymatlarini topamiz va kritik nuqtani xarakterini aniqlaymiz: bo’lgani uchun funksiya nuqta maksimumga ega va bo’ladi.

5 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.

Kritik nuqtalarni topamiz:

Tenglamalar sistemasini yechib ,nuqtalarni topamiz . Bu nuqtalar kritik nuqtalar bo’ladi nuqta uchu bo’lgani uchun funksiya nuqtada minumga ega va bo’ladi. nuqta uchun bo’lgani uchun funksiya nuqtad maksimumga ega va bo’ladi. nuqta uchun bo’lgani uchun funksiya nuqtada ekstrimumga ega emas.

Funksiyaning tpilgan qiymatlarini o’zaro taqqoslasak funksiyaning eng katta qiymati 12 ga , eng kichik qiymati 4 ga teng bo’ladi .

Shunday qilib , funksiya doirada o’zining eng katta qiymatiga aylananing nuqtalarida , eng kichik qiymatiga esa aylananing nuqtalarida erishadi.

6 – misol. x²+y²=1 shartda z=6-4x-3y funksiyani ekstremumga tekshiringlarni topamiz. Bu holda funksiya shartli ekstremumga ega bo’lishligining zaruriy shart ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamar sistemasini yechib, λ₁ = , x₁ = , y₁ = va λ₂ = - , x₂ = - , y₂ = - larni topamiz.

bo’lgani uchun d²F=2λ(dx²+dy²) bo’ladi. Shunday qilib, λ = , x = , y = bo’lganda d²F>0 bo’lgani uchun funksiya ( ; ) nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va z_min( ; )=1. λ= - , x= - , y= - bo’lganda, d²F<0 bo’lgani uchun funksiya bu nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va

9 – misol. Yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan eng kata hajmli to’g’ri burjakli parallepiped yasang.

∆ Parallepiped tomonlarini x, y, z deb belgilaylik. Bu holda qo’yilgan masala
shart berilganda
Funksiyaning maksimumini topishga keltiriladi.

Yordamchi Lagranj funksiyasini tuzamiz:

va funksiya xususiy hosilalarini topib, ularni nolga tenglaymiz:

(*)

Bu tenglamar sistemasidagi birinchi uchta tenglamani biridan ikkinchisini ayirsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasidan x=y=z ekani kelib chiqadi. (*) dagi oxirgi xy+yz+xz = tenglamaga asosan x=yz = bo’ladi. Demak, yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan yasalgan eng kata hajmli parallelepiped qirralari ga teng bo’lgan kub bo’lar ekan

ADABIYOTLAR
1. А.Г.Хикматов, Т.Т.Турдиев. “Математик анализ”. –Т.: Укитувчи, 1980, 248-б.

2. Й.У.Соатов. “Олий математика”. 1-том -Т.: Укитувчи, 1992.

3. Т.Азларов, М.А.Собиров, М.Сахаев. “Математикадан кулланма”. –T.: Уқитувчи, 1979 й.

4. А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов ва бошкалар. “Алгебра ва анализ асослари”. 9-10 синфлар учун укув кулланма. –Т.: Укитувчи, 1987 й, 352-б.

5. F.Rajabov, S.Masharipova, R.Madraximov. “Oliy matematika”. (O`quv qo`llanma), -T.: “Turon-iqbol”, 2007 y.