O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika-informatika

3-ta`rif. ƒ(x) funksiyaning minimum yoki maksimum nuqtalari uning ekstremum nuqtalari deyiladi, ƒ(x) funksiyaning minimumi yoki maksimumi uning ekstremumi deyiladi.

4-ta`rif. Agar ƒ(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz, x<sub>o</sub> nuqta (a, b) intervalning (yoki [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarim intervallarning) biror nuqtasi bo`lib, shu intervalning x_o dan farqli barcha nuqtalari uchun ushbu ƒ(x) <ƒ(x_o) tengsizlik bajarilsa, u holda ƒ(x_o) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng katta qiymati deyiladi; agar ƒ(x)>ƒ(x_o) tengsizlik bajarilsa, ƒ(x_o) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng kichik qiymati deyiladi.

Y

1

X

1

-1

0

1-chizma

2-chizma

Teorema (funksiya ekstremumining mavjudligi uchun ikkinchi etarli mezon). Kritik nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasidir f(x) agar funktsiyaning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lmasa ( f ""(x) ≠ 0) va agar ikkinchi hosila noldan katta bo'lsa ( f ""(x)> 0), u holda maksimal nuqta va agar ikkinchi hosila noldan kichik bo'lsa ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.Izoh

1. Agar nuqtada x0 ham birinchi, ham ikkinchi hosilalar yo'qoladi, keyin bu nuqtada ikkinchi etarli mezon asosida ekstremum mavjudligini hukm qilish mumkin emas. Bunday holda, funktsiya ekstremumining birinchi etarli ko'rsatkichidan foydalanish kerak.
Izoh 2. Agar birinchi hosila statsionar nuqtada mavjud bo'lmasa (u holda ikkinchi hosila ham mavjud emas) funksiya ekstremumining ikkinchi yetarli mezoni ham qo'llanilmaydi. Bunday holda, funktsiya ekstremumining birinchi etarli ko'rsatkichidan ham foydalanish kerak.

Yuqoridagi ta'riflardan kelib chiqadiki, funktsiyaning ekstremumi mahalliy xususiyatga ega - bu eng yaqin qiymatlarga nisbatan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati.

Aytaylik, siz bir yil davomidagi daromadingizni ko'rib chiqyapsiz. Agar siz may oyida 45 000 rubl, aprel oyida 42 000 rubl va iyun oyida 39 000 rubl ishlagan bo'lsangiz, may oyidagi daromad eng yaqin qiymatlar bilan taqqoslaganda daromad funktsiyasining maksimal ko'rsatkichidir. Ammo oktyabr oyida siz 71 000 rubl, sentyabrda 75 000 rubl va noyabrda 74 000 rubl ishlab oldingiz, shuning uchun oktyabr oyidagi daromadlar yaqin atrofdagi qiymatlar bilan solishtirganda daromad funktsiyasining minimalidir. Va aprel-may-iyun oylaridagi maksimal qiymat sentyabr-oktyabr-noyabr oylaridagi minimumdan kamroq ekanligini osongina ko'rishingiz mumkin.

Umuman olganda, funktsiya oraliqda bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin va funktsiyaning istalgan minimali har qanday maksimaldan katta bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan funktsiya uchun.

Ya'ni, funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari mos ravishda uning barcha ko'rib chiqilgan oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlari deb o'ylamaslik kerak. Maksimal nuqtada funksiya mavjud eng yuqori qiymat faqat barcha nuqtalarda maksimal nuqtaga yaqin bo'lgan qiymatlar bilan solishtirganda va minimal nuqtada - eng kichik qiymat faqat barcha nuqtalarda minimal nuqtaga etarlicha yaqin bo'lgan qiymatlarga nisbatan. .

Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun bu ta`rifga misollar ko`raylik.

1. 
   ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu kesmaning chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati nolga teng; ichki nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut qiymati bo`yicha kamaygan sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 bo`lganda esa u o`zining eng katta qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi.
   
2. 
   ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 bo`lganda nolga, demak ƒ(x) funksiyaning qiymati + ga intiladi. Ammo berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, ) yarim intervaldan iborat bo`lib, funksiyaning eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga u istalgancha katta miqdordir.
   

Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik qiymati 0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi.