Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15. Задача 2

Задача 4:
Для любых натуральных чисел n > m докажите неравенство

где [x,y] — наименьшее общее кратное чисел x и y.
(А.Голованов)
Задача 5:
Точка I — центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, а точка H — ортоцентр этого треугольника. Точка M — середина меньшей дуги AC описанной окружности треугольника ABC. Оказалось, что MI = MH. Найдите угол ∠ ABC.
(Ф.Бахарев)
Задача 6:
Найдите все такие функции , что для любых целых x и y выполняется соотношение f(x + y + f(y)) = f(x) + 2y.
(Ф.Петров)
Задача 7:
Из таблицы 20 × 20 вырезали прямоугольники 1 × 20, 1 × 19, …, 1 × 1. Докажите, что наибольшее количество прямоугольников 1 × 2, которое заведомо можно вырезать из оставшейс части таблицы равно 85.
Задача 1:
Все клетки доски 10 × 10 покрашены в белый цвет. Федя и Юра по очереди (начинает Федя) перекрашивают по одной белой клетке в черный цвет. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останетс двух соседних по стороне белых клеток. Кто выигрывает при правильной игре?
(А.Храбров)
Задача 2:
Назовем квадратный трехчлен хорошим, если он имеет два различных вещественных корня, а его коэффициенты — попарно различные числа. Существуют ли 10 таких положительных чисел, что найдутся 500 хороших квадратных трехчленов, все коэффициенты которых содержатся среди этих чисел?
(Ф.Петров)
Задача 3:
В выпуклом пятиугольнике ABCDE AB = BC, CD = DE и ∠ A = ∠ C = ∠ E < 90°. Докажите, что этот пятиугольник — описанный.
(Ф.Бахарев)
Задача 4:
a, b и c — натуральные числа, для которых (a² – 1,b² – 1,c² – 1) = 1. Докажите, что (ab + c,bc + a,ca + b) = (a,b,c). (Как обычно, (x,y,z) обозначает наибольший общий делитель чисел x, y и z.)
(А.Голованов)
Задача 5:
Точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. На средних линиях C₁B₁ и A₁B₁ отмечены точки E и F соответственно так, что прямая BE содержит биссектрису угла AEB₁, а прямая BF — биссектрису угла CFB₁. Докажите, что биссектрисы углов ABC и FBE совпадают.
(Ф.Бахарев)