Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15. Задача 2

Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2001. Районный тур. 10 класс. II вариант




Задача 1:
f(x) и g(x) — квадратные трехчлены, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что трехчлен f(x) + g(x) имеет два различных корня, и каждый из этих корней является также корнем уравнения g(x) – f(x)⁵ = 0. Докажите, что трехчлены f(x) и g(x) равны.
Задача 2:
По кругу расставлены 100 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 45 чисел, стоящих подряд, равна 250. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.
Задача 3:
Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит. Пробежав 200 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 50 (своих) шагов. Докажите, что шаги идущего Феди короче шагов бегущей Наташи.
Задача 4:
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC — в точке Y, а описанную окружность треугольника — в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AY = ZX.
Задача 5:
Можно ли бумажный прямоугольник размера 101 × 45 разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 7 × 9, 7 × 18 или 9 × 18?

Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2001. Районный тур. 11 класс. I вариант

Задача 1:
sin x, sin y, sin z — возрастающая арифметическая прогрессия. Докажите, что числа cos x, cos y, cos z не образуют (строго) убывающую арифметическую прогрессию.
(Д.Ростовский, А.Храбров)