Referati tayyorladi: D. Shermatov Tekshirdi: X. Mo’ydinov Andijon 2023 Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti

1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha.
Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V R_n to`plamda aniqlangan
bo`lib, M₀(x₁⁰; x⁰₂; ...; x⁰_n) nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi bo`lsin. Funksiya limitining bir-biriga o`zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta`riflari mavjud.
Ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta`riflanadi: Har bir hadi V to`plamga tegishli va M₀ quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi M₀ nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M₁), f (M₂), …, f (M_k), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi va
b = lim f(M) yoki b = lim f(M)
M→M0 x1→x10
x2 →x⁰2
.......... .... xn →x⁰n
ko`rinishda yoziladi.
Xususan, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x₀ songa intiluvchi argument qiymatlari x₁, x₂, …, x_k, … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda x_k є V, x_k ≠ x₀ (k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x₁), f (x₂), …, f (x_k), … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x₀ dagi limiti deyiladi va b ₌ lim f(M) ko`rinishda yoziladi. x→xFunksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta`riflanadi:
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning
δ atrofi S_δ(M₀) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha
M є S_δ(M₀) ∩ V, M ≠ M₀ nuqtalar uchun |f (M) - b| < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi.
Xususiy holda, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo`lsaki, V to`plamga tegishli va 0 < |x - x<sub>0</sub>| < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir x uchun |f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x<sub>0</sub> dagi limiti deyiladi (1-rasm).
Yuqorida keltirilgan ta`riflardan birini qo`llab, masalan,
1) lim→sin x =1, 2) lim→− 2 1 x22 = 0,2 yoki 3) xlim→0cos 1x x 2 x1 1x1 + x2→2
mavjud emasligini isbotlash mumkin.

1-rasm.
Quyida sanab o`tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta`riflar asosida isbotlanadi.

1. lim sinx =1 x→0 x	(1-ajoyib limit asosiy shakli).
2. lim ^tgx=1. x→0 x	3. lim arcsinx =1. 4. lim arctgx =1. x→0 x x→0 x
1 5. lim (1+ x)^x= e .	(2-ajoyib limit asosiy shakli).

x→0
6. limx→0 loga 1 +x = loga e. 7. limx→0 ln(x +1) =1. x x
a^x −1 e^x −1
8. lim = ln a . 9. lim =1. x→0 x x→0 x
Limitga ega funksiyalar o`zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:

1. 
   y = f (M) funksiya M → M₀ da limitga ega bo`lsa, ushbu limit yagonadir;
   
2. 
   y = f (M) funksiya M → M₀ da chekli limitga ega bo`lsa, M <sub>0</sub> nuqtaning δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) mavjudki, S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V to`plamda f (M) funksiya chegaralangan bo`ladi.