2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

3.1.1-теорема. Иккита тартибланган ва <с,d> жуфтликлар тенг бўлиши учун, уларнинг мос координаталари тенг бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Ҳақиқатдан, агар тартибланган жуфтликларнинг мос координаталари тенг бўлса, тартибланган жуфтликларнинг тенг бўлиши равшан. Аксинча, фараз қилайлик =<с,d> бўлсин. У ҳолда таърифга биноан . Тўпламларнинг тенглиги таърифидан бўлиши келиб чиқади. Демак, бўлади.
А ва В тўпламлар бўш бўлмаган тўпламлар бўлсин.
3.1.2.Таъриф.А ва В тўпламларнинг декарт(тўғри) кўпайтмаси деб, барча тартибланган , бун­да x A, y B жуфтликлар тўпламига айтилади.
А ва В тўпламларни декарт (тўғри) кўпайтмасини АхВ кўринишда белгиланади.
Шундай қилиб,
АхВ ={x A, y B}
Агар А ва В тўпламлар чекли тўпламлар бўлиб, мос равишда m ва n элементли бўлсалар, у ҳолда АхВ тўплам роса mn элементдан иборат бўлади.Ихтиёрий Х тўплам учун Хх=хХ ўринли деб ҳисоблаймиз.Бундан сўнг декарт ( тўғри ) кўпайтмани декарт кўпайтма деб аташни келишиб оламиз. Агар иккита чекли тўплам берилган бўлса, у ҳолда уларнинг декарт кўпайтмасини жадвал кўринишда ёзиш қулайдир. Қуйида келтирилган жадвалда, B={2,7} ва A={a,b,c} тўпламларнинг декарт кўпайтмаси элементлари тасвирланган.

A B	А	b	C
2	<2,a>	<2,b>	<2,c>
7	<7,a>	<7,b>	<7,c>

A={-1,0,1} ва B={2,4} бўлсин. У ҳолда АхВ, ВхА, АхА ва ВхВ тўпламлар қуйидагича бўладилар.
1. АхВ={<-1,2>,<-1,4>,<0,2>,<0,4>,<1,2>,<1,4>}
2» ВхA={<2,-1>,<2,0>,<4,-1>,<4,0>,<2,1>,<4,1>}
3. AxA={<-1,-1>,<-1,0>,<-1,1>,<0,-1>,<0,0>,<0,1>,
<1,-1>,<1,0>,<1,1>}
4. BxB={<2,2>,<2,4>,<4,2>,<4,4>}
Юқорида келтирилган мисолдан, ихтиёрий А ва В тўпламлар тўғри кўпайтмаси учун, коммутатив яъни ўрин алмаштириш қонуни умуман олганда бажарилмаслиги келиб чиқади. Шунингдек, X, У ва Z тўпламлар учун ассоциатив (группалаш) қонуни ҳам умуман олганда бажарилмайди, яъни
Хх(YxZ)  (XxY)xZ
A,В,С ва D тўпламлар учун қуйидаги хоссалар ўринлидир:
1. (AB)xC=(AxC)(BxC)
2. (AB)xC=(AxC)(BxC)
3. Ax(BC)=(AxB)(AxC)
4. Ax(BC)=(AxB)(BxC)
5. (AxB)(CxD=(AC)x(BD)
6. (AxB)(CxD)=(AC)x(BD)
7. AxB=A==
8.  CB DAxB CxD

Агар А=В бўлиб қолса, у ҳолда АхА ёзув ўрнига А² ёзув қўлланилади ва ҳосил бўлган декарт кўпайтмани А тўпламни иккинчи даражали декарт кўпайтмаси ёки декарт квадрати дейилади.Тартибланган жуфтлик ёрдамида, учта элементлар учун <,c> кўринишда тартибланган учликни аниқлашимиз мумкин. Тартибланган n-лик эса тартибланган n-1 лик орқали -кўриншда аниқланади ва орқали белгиланади. лар учун, элемент ликнинг i-координатаси, n га эса унинг узунлиги дейилади. n та a₁, a₂, … ,a_n элементлардан (объектлардан) тузилган тартибланган < a₁, a₂, … ,a_n> n-ликни шу элементлардан тузилган тизма (кортеж) ҳам дейилади.