Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

TEOREMA (Minkovskiy teoremasi). bx≤0 tengsizlik

tengsizlikning natijasi bo’lsa, u holda b∈ L⁺( a₁,a₂, …, a_m) bo’ladi.
Minkovskiy teoremasini isbot qilish uchun quyidagi ikkita lemmani keltiramiz.
1 – lemma. Agar

bo’lsa, u holda  tengsizlik

sistemaning natijasi bo’lmaydi.
Isboti. vektorlar sistemasining rangini  bilan belgilaylik va (3) shart bajarilsin deylik, u holda

bo’ladi.


bo’lsin.

Chiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik. (4) ga ko’ra, (5) tenglmalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matritsasining rangi  ga teng. Demak, (5) hamjoyli. SHuning uchun shunday vektor topiladiki,


bo’lib,  vektor (1) sistemaning (2) shartni qanoatlantirmaydigan yechimi bo’ladi. SHunday qilib, (2) tengsizlik (1) sistemaning natijasi bo’lmaydi.
Natija. Agar (2) tengsizlik (1) sistemaning natijasi bo’lsa, u holda

2 – lemma.   tengsizlik  sistemaning natijasi va   bu yerda  bo’lsin. U holda (2) tengsizlik
sistemaning natijasi bo’ladi.
Isboti.  (I) sistemani qaraylik.
(3) ga ko’ra,  vektor  manfiymas chiziqli kombinatsiyasi bo’ladi:
.
Har qanday sistemaning ixtiyoriy manfiymas chiziqli kombinatsiyasi bu sistemaning natijasi ekaniga ko’ra, (2) tengsizlik (I) sistemaning natijasi bo’ladi.
Endi (4) sistemaning ixtiyoriy  yechimi (2) sistemaning ham yechimi ekanini ko’rsatamiz. Bunda ikkita hol yuz berishi mumkin:
yoki
Agar bo’lsa,  yechim (1) ning yechimi bo’lib, shartga ko’ra, (2) ning ham yechimi bo’ladi.
Agar bo’lsa,  yechim (I) ning yechimi bo’lib, (4) ga ko’ra, (2) ning ham yechimi bo’ladi. SHunday qilib, (4) sistemaning ixtiyoriy yechimi (2) tengsizlikning yechimi bo’ladi. Teorema isbotlandi.
TEOREMA (Minkovskiy teoremasi). bx≤0 tengsizlik

tengsizlikning natijasi bo’lsa, u holda b∈ L⁺( a₁,a₂, …, a_m) bo’ladi.