Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

UNIVERSITETI
Ahborot-resurs nurkaxi

	©	«Tafakkur-Bo‘steni», 2012.
ISBN 978-9943-05-521-6	©	«Cho‘lpcm» N M IU , 2012.

Akademik S a ’di Hasanovich Sirojiddinovning unutilmas yorqin xotirasiga bag‘ishlanadi.

SO Z BOSHI
Ushbu qo‘llanma hozirgi zamon «Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika» kursining respublikamiz universitetlari va pedagogika institutlari matematika, tadbiqiy matematika, infor-matika mutaxassisliklari bo‘yicha qabul qilingan o‘quv dasturlari asosida yozilgan. Bundan tashqari, qo‘llanmadan mazkur kurs bo‘yicha qo'shimcha mashg‘ulotlar, talabalarbilan mustaqil ta’lim dasrlarini o‘tkazishda foydalanish rnumkin. Shu maqsadda kilob-da keltirilgan hanima teoremalar matematika nuqtayi nazaridan qa’tiy isbotlari bilan ta’minlangan. Ular bilan tanishish o‘quvchiga hozirgi zamon ehtimolliklar nazariyasida qo‘llaniladigan metodlar haqida to‘la ma’lumot beradi. Aytilgan fikming ahamiyatliligi shun-daki, ehtimollik nazariyasi matematik fan sifatida bevosita tabiiy va ijtimoiy jarayonlarning modellarini o'rganadi. 0 ‘z navbatida esa, bu modellar asosiy tushuncha sifatida qabul qilingan «Elc-mentar hodisalar» tushunchasi orqali ifodalanadi.
Qo‘llanmada keltirilgan m a’lumotlarni tushunish uchun o'quv-chidan kombinatorikaga tegishli dastlabki tushunchalar va hirin-chi, ikkinchi kurslarda o‘qitiladigan matematik analiz elementlari bilan tanish bo‘lish talab etiladi.
Ushbu darslik mualliflarning ko'p yillar davomida Mirzo Ulug'bek nomidagi 0 ‘zbekiston Milliy Universiteti, Nizomiy 110-midagi Toshkent Davlat Pedagogika Universitetida o'qigan ma’m-zalari asosida yozilgan.
Ushbu kito'oning yozilishida Nizomiy nomidagi Toshkent I)avlal pedagogika universitetining «Matematik analiz» kafcdrasining o‘qituvchilarining maslahatlaridan foydalanildi. Mualliflar kilob

3

qo‘lyozmasi bilan tanishib, foydali maslahatlar bergan fizika-mate-matika fanlari doktori A.A. Abdushukurov, Y.M. Husanboyev-larga, fizika-matematika fanlari nomzodi J.B. Azimovga chuqur minnatdorchiiik izhor qiladilar.
Albatta, liar qanday yozilgan kitob mualliflarning tanlangan predmetga bolgan shaxsiy munosabatlarini ko'proq aks cttiradi. Shuning uchun ham taklif qilinayotgan darslikni kamchiliklardan xolis, deb bo‘lmaydi. Biz mutaxassislar va oddiy o'qituvchilar to-monidan darslikka bildiriladigan tanqidiy fikrlami kutib qolamiz.
Manzil: Toshkent sh., Yusuf Xos Hojib ko‘chasi, 103-uy. Nizomiy nomidagi Toshkent Davlat Pedagogika Universiteti, fizika-matematika fakulteti, «Matematik analiz» kafedrasi.
Mualliflar

KIRISH
Ehtimolliklar nazariyasi matematik fan sifatida ro‘y berishi yoki ro‘y bermaganligi noaniq bo‘lgan voqealarning modellarini (vo-qealarning o‘zini emas) o'rganadi. Boshqacha qilib aytganda, ehti­ molliklar nazariyasida shunday tajribalar modellari o'rganiladiki, bu tajribalarning natijalaridan qaysisi ro'y berishini aniqlab bo‘l-maydi. Masalan, tanga tashlanganda uni gerb yoki raqam tomoni bilan tushishi, ob-havoni oldindan aytib berish, ishlab turgan agre-gatning yana qancha ishlashi, ommaviy ishlab chiqarilgan mah-sulotning nosozlik qismi, elektr signallarini uzatishda halaqit beruv-chi vaziyatlar yuzaga kelishi —bularning hammasini ehtimolliklar nazariyasi qoMlanilishi mumkin bo‘lgan sohalar deb qaralishi mumkin.
Ehtimolliklar nazariyasini qollash yoki qollash mumkinmas-ligi o‘rganilayotgan tajriba uchun «stoxastik turg‘un!ik» xossasi o‘rinli bo‘lishiga bog‘liq. Oxirgi tushuncha esa, o‘z navbatida, o‘rganilayotgan tajribaning bir xil sharoitda ko‘p marta kuzatish (o‘tkazish) imkoniyati bilan bog'liq (sanab o‘tilgan misoliarga e’tibor bering). Lekin, aytib o‘tilgan fikrlarni «stoxastik turg‘unlik»ning ta’rifi sifatida qabul qilib bo‘lmaydi. Aslida esa, bu tushunchaga ehtimolliklar nazariyasi fundamental natijalaridan biri —katta son-lar qonuni orqali kelish mumkin. Buning uchun quyidagi fikrlar­ ni keltirish bilan chegaralanib qolamiz.
Bizning ongimizda biror hodisaning ehtimolligi («ro‘y berish-lik darajasi») bir xil tipdagi tajribalarni bir xil sharoitda ko‘p marta takrorlanganda bu hodisaning ro‘y berishlar soniga bog‘liq. Buni ko‘p marta foydalaniladigan «tanga tashlash» misolida namoyish etamiz. Aytaylik, tanga n marta tashlansin, mn — «gerb» ro‘y berishining nisbiy chastotasi bo‘lsin, ya’ni ng deb tanga n marta tashlanganda uning «gerb» tomoni bilan tushgan soni belgilansa, u holda

5

Intuitiv ravishda tushunarliki (tajribalar esa buni isbotlaydi), agar tangani oldingi tashlangan natijalariga bog‘liq qilmasdan tash-lasak, katta n lar uchun mn chastota 1/2 ga yaqin bo‘ladi, ya’ui n -> oo da

-> \ (*)
munosabat o ‘rinli bo‘ladi. Masalan XVIII asrda yashagan mashxur tabiatshunos Byuffon tangani 4040 marta tashlab, unda «gerb»
tomoni 2048 marta tushganini kuzatgan. Bu holda = — » 0,508.

n
Mashhur ingliz statist olimi K.Pirson tangani 24000 marta tash­ lab, «gerb» tomoni bilan 12012 marta tushganini kuzatgan. Bu holda mn » 0,5005 (bu m a’lumotlar B.V.Gnedenkoning «Kypc TeopHH Bepo?iTHOCTeii» (Moskva, 1969) kitobidan olindi). Aytil-ganlardan kelib chiqadiki, tanga tashlanganda uning «gerb» to ­ moni bilan tushish ehtimolligini 1/2 soni bilan tenglashtirish mumkin.
Lekin bu mulohazalarda quyidagi prinsipial qiyinchiliklar yu-zaga keladi: keltirilgan fikrlarni odatdagi matematik tushunchalar orqali asoslab bo‘lmaydi, chunki, birinchidan tajribalarning bog‘-liqsizligining qat’iy matematik ta ’rifini kiritish kerak boiadi. Ik-kinchidan, mn oddiy m a’nodagi miqdor bo‘lmasdan, u har xil tajribalar seriyalarida har xil qiymatlarni qabul qiladi (hattoki har qanday n uchun mn= 1 bo‘hshligini, ya’ni tanga tashlanganda doimo uning «gerb» tomoni bilan tushishini inkor etib bo‘lmaydi). De-mak, (*) munosabatni sonli ketma-ketlikiarning limiti tushun-chasi doirasida asoslab bo‘lmaydi, chunki mn — oddiy m a’nodagi miqdor emas, u «tasodif!y miqdor» bo‘ladi. Demak, aslida biz cheksiz {mn, n > \ ) ketma-ketlikka ega boim asdan, bu ketma-ketlikning chekli sondagi chastotalari elementlari bilan ish ko'ri-shimizga to‘g‘ri keladi.
Eslatib o ‘tilgan qiyinchiliklarni bartaraf etish uchun hozirgi zamon matematikasida qabul qilinganidek, «tasodifiy hodisalar»

6

va ularning «ehtimolliklari» uchun aksiomatik modellar tuzish kerak bo‘ladi. Bu muammolar XX asrning mashhur matematigi A.N.Kolmogorov tomonidan taklif qilingan «ehtimolliklar nazariyasi aksioma!ari» sistemasini kiritilishi bilan hal etildi.

Ma’lumki, oxirgi yillarda «Ehtimollik!ar nazariyasi va matematik statistika» fanining asosiy tushunchalari davlat standartlari asosi­ da akademik litseylar va kollejlar dasturiga kiritildi. Shuning uchun ham bu fanni pedagogika oily o‘quv yurtlarida o‘qitishni yaxshi-lash muammolari yuzaga keldi.
Taklif qilinayotgan kitob yuqorida eslatib o‘tiigan akademik A.N. Kolmogorov konsepsiyasi asosida yozildi va u hozirgi zamon «Ehtimoliklar nazariyasi va matematik statistika» fanining asosiy boblarini o‘z ichiga oladi.
Mazkur darslikning cxirida «Ehtimoliklar nazariyasi va matema­ tik statistika»ning matematik fan sifatida shakllanish tarixidan lavhalar va bu fan bo‘yicha 0 ‘zbekistonda dunyoga mashhur mak-tab yaratilganligi haqidagi ma’lumotlar berilgan.

7

57.