Энди тензор вектор досилаларидан

п-та ихтиёрий узгарувчи х 1у х 2, х 3, . . . , х„ мицдорлар хилма-хиллиги п улчовли фазо деб цабул цилинган.

Бу ихтиёрий. узгарувчи х 1г х г, х 3, . . . , х п мицдорларнинг аниц туплами п улчовли фазо нуцтаси деб, мицдорларнинг узи эса нуцта координаталари деб аталади. Биз уч улчов­ ли фазодаги Декарт ортлари, Декарт координаталарини алмаш- тириш билан боглиц булган асосий формулаларни п улчовли фазо учун умумлаштириб цабул килишимиз мумкин, бу долда дар бир индекс 1, 2, 3, . . . , п цийматларга эга булади.

₃₁₂ I II БОБ. ОДДИЙ ТЕНЗОРЛАР АНАЛИЗИ


п улчовли фазода Декарт ортлари ва Декарт координатала- рини алмаштириш формулалари:
е, = o-ij e j (56.1)
х \ — а -j X j N (56.2)
булади. Алмаштириш коэффициентларининг ортогоналлик шарти:
aijaik = ajk (56.3)
ва бу коэффициентлардан тузилган детерминант:
I + 1
I атп I = ёки (56.4)

булади. Тензор ва псевдотензор компонентларини алмаштириш формулалари:

булади.
T i j . . . п — a ip aj q • • • a n S T pq . . . S (56.5)
P i j . . . и = | °-lm I aip ajq • • ■ans P p q • • • s (56.6)

Тензор ёки псевдотензор рангини, яъни индекслар сонини R билан белгилаймиз. Бу индексларнинг дар бири п улчовли фазода 1, 2, 3, . . . , п сонларга тенг. Демак, R рангли тензор ёки псевдотензор компонентларининг п улчовли фазодаги уму- мий сони N = n R булади.
Масалан, иккинчи рангли ТЧ тензор учуй N = /г2. Бу тен­ зор антисимметрии тензор булса (7 ,j = — Ти), унинг и-та ком- поненти нолга тенг булиб, нолга тенг булмаган компонентла­ рининг сони п2 — п = п(п — 1) булади. Бу компонентларнинг ярми цолганларидан фацат ишоралари билан фарк цилади.
Демак, узаро богланмаган компонентлар сони — - га тенг;;
3/3 _ 1\ 3.2
жумладан, уч улчовли фазода -Ц^— - == 3 га тенг булади.
Псевдовектор Pi учун, умуман, N = п булиб, уч улчовли фа­ зода N = 3 дир. Демак, илгари курганимиздек, иккинчи рангли антйсимметрик тензор фацат уч 5^лчовли фазода псевдовектор билан тасвирланади.