Funksiya limiti, limitlar haqida teoremalar Ta’rif

Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
Faraz qilaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta  to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin.  nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy  :

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat  :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.
3-ta’rif. (Geyne). Agar  da  bo‘ladigan ixtiyoriy  ketma-ketlik uchun  da  bo‘lsa,  ga  funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi va  da  yoki

kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar  da
va 
bo‘ladigan turli  ,  ketma-ketliklar uchun  da  , bo‘lib,  bo‘lsa  funksiya  da limitga ega emas deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning  nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi  :

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib,  da  bo‘ladi. Demak,

4-ta’rif. (Koshi). ([1], p. 221, Def. 9.3.6) Agar  son olinganda ham shunday  topilsaki,  uchun

tengsizlik bajarilsa,  soni  funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
,  ,  : 
bo‘lsa,  .
5-ta’rif. ([2], p. 81, Def. 3.21) Agar  son olinganda ham shunday  son topilsaki,  uchun  tengsizlik bajarilsa,  funksiyaning  nuqtadagi limiti  deb ataladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,
, 
funksiya uchun

bo‘ladi.
Aytaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar  son olinganda ham shunday  topilsaki,  uchun

tengsizlik bajarilsa,  soni  funksiyaning  dagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
7-misol. Aytaylik,  ,  ,  bo‘lsin. U holda

bo‘ladi.
Haqiqatan ham,  sonnni olaylik. Ravshanki,  uchun
.
Demak,  deyilsa, unda  uchun

bo‘ladi.
7-ta’rif. Agar

bo‘lsa,  son   funksiyaning  nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan,  nuqta  ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.
8-ta’rif. Agar

bo‘lsa,  son  funksiyaning  nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,

funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.