Funksiya limiti, limitlar haqida teoremalar Ta’rif

1-misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini ko`rsating.
Yechish.  > 0 son olib, bu  songa ko`ra  >0 soni  = 4 bo`lsin deb qaralsa, u holda |x-5|< bo`lganda

bu esa qurilayotgan funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.
2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x<sub>0</sub> ga intiluvchi har qanday {x<sub>n</sub>} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(x<sub>n</sub>)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x<sub>0</sub>) ga intilsa, f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar  munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu  munosabat ham o`rinli bo`ladi.
Odatda x-x<sub>0</sub> ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x<sub>0</sub>) esa funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda x va y (f(x<sub>0</sub>)) kabi belgilanadi, ya’ni: x=x-x<sub>0</sub>, y=f(x<sub>0</sub>)=f(x)-f(x<sub>0</sub>).
Demak, x=x<sub>0</sub>+x, y=f(x<sub>0</sub>+x)-f(x) natijada,  munosabat  ko`rinishga ega bo’ladi.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning x₀ nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.


Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi x0 dа ungа 
mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi y0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz dеyilаdi vа y=0 kabi yozilаdi. x=x<sub>0</sub>+x, x=x-x<sub>0</sub>, y=f(x<sub>0</sub>+x)-f(x<sub>0</sub>), y=f(x)-f(x<sub>0</sub>)
y= (f(x<sub>0</sub>+x)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x<sub>0</sub>+x-х<sub>0</sub>)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x)-f(x<sub>0</sub>))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.
y+y=2(x+x)+1, ayirmani topamiz y=2x+2x+1-2x-1, y=2x
y= 2x =0
2) y=x³
y+y=(x+x)³
y=x³+3x²x+3x(x)²+x³ y=x³+3x²x+3xx²+x³-x³
y=x(3x²+3xx+x²)
y= (3x²+3xx+x²)x=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning x₀R nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish. x₀R nuqtani olib unga x orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu y=cos(x₀+x)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -<x< bo`lganda
|y| = |cos(x₀+x) - cosx₀|=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa x0 da y0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀X) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda xx₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1) chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va
f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz bo`ladi;
2) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) lar mavjud, lekin f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)x=x<sub>0</sub> nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x<sub>0</sub> nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)f(x<sub>0</sub>) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x<sub>0</sub>=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.
Yechish. Demak,  [x]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar:
1.Funksiya limitiga ta’rif bering?
2.Funksiya limitiga misollar ayting?
3.Ajoyib limit nima?
4. Ajoyib limitlarga misollar ayting?
5. Funksiya uzluksizligi nima?
6. Cheksiz va chekli limitlar nima?
7. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari
Xulosa.
Limit (lotincha: Limes — chek, chegara) — mat.ning muhim tushunchalaridan biri. Agar bir oʻzgaruvchiga bogʻliq ikkinchi oʻzgaruvchi birinchi oʻzgaruvchining oʻzgarish jarayonida a songa cheksiz yaqin-lashsa, a soni ikkinchi oʻzgaruvchi miqdorning limiti deyiladi. Bu yerda L. tushunchasi oʻzgarish va cheksiz yaqinlashish jarayoni haqidagi tasavvurga bogʻliq. L.ning aniq matematik taʼrifi 19-asrboshlarida shakllandi (qarang Ketma-ketlik). Natijada mat.da yangi usul — L.lar usuli paydo boʻldi. Bu usulning tatbiqi va rivoji differensial hisob va integral hisobning yaratilishiga, matematik analizning vujudga kelishiga olib keldi.
L. nazariyasida L.larning xossalari tekshiriladi, oʻzgaruvchi miqdor L.ning mavjud boʻlishi shartlari oʻrganiladi, bir necha sodda oʻzgaruvchi miqdorlarning L.larini bilgan holda murakkab funksiyalar L.larini hisob-lashga imkon beradigan qoidalar to-piladi. L. nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri cheksiz kichik — L.i nolga teng boʻlgan oʻzgaruvchi miqdor tushunchasi. L. nazariyasining yaratilishiga I. Nyuton, J. D’Alamber, L. Eyler, O. Koshi, K. Veyershtrass, Bolsanolar katta hissa qoʻshishgan
Limit ni hisoblashda ma'lum bir aniq emasliklar mavjud, 1) 0/0 2)cheksiz/cheksiz 3) cheksiz + cheksiz 4) cheksiz - cheksiz. Shunga o'xshash aniq mesliklar uchun Lopital Lopital qoidasi ni qo'llash mumkin. Unga ko'ra hisoblashda ushbu aniq emaslikka duch kelinsa toki aniqmaslik yo'qolmaguncha ketma-ket hosila olish mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.Т. Жщраев ва бошыалар. Олий математика асослари. Т. «Щзбекистон», 1995 й. I ыисм. 2.Ё. У. Соатов. Олий математика. Т. «Щыитувчи», 1994 й. I ыисм.
3.Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М. «Наука», 1990 г.
4. А.Г. Курош. Курс высщей алгебры. М. «Наука». 1971 г.