Funksiya limiti, limitlar haqida teoremalar Ta’rif

To‘plamning limit nuqtasi.
Aytaylik, biror  to‘plam va  nuqta berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar  nuqtaning ixtiyoriy
, 
atrofida  to‘plamning  nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
Misollar. 1.  to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
2.  to‘plamning har bir nuqtasi va  nuqtalar shu to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi.
3.  to‘plamning limit nuqtasi  bo‘ladi.
4.  to‘plam limit nuqtaga ega emas.
2-ta’rif. ([2], p. 82. Item 3.3.3) Agar  nuqtaning ixtiyoriy

o‘ng atrofida (chap atrofida)  to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,  nuqta  to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy  uchun

to‘plamda  to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,  to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi.
Agar ixtiyoriy  uchun

to‘plamda  to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,  to‘plamning limit «nuqta»si deyiladi.
Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.
1-teorema. Agar  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u holda  nuqtaning har qanday

atrofida to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi.
Aytaylik,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema tasdig‘ining teskar isini faraz qilaylik:  nuqtaning biror  atrofida  to‘plamning chekli sondagi  nuqtalarigina bo‘lsin. U holda

deb olinsa,  nuqtaning  atrofida  to‘plamning  dan farqli bitta ham nuqtasi bo‘lmaydi. Bu esa  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir.
2-teorema. ([1], p. 216, Th. 9.1.24) Agar  nuqta  to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u holda shunday sonlar ketma-ketligi  topiladiki,
1)  da  ,  ;
2)  da  ;
bo‘ladi.