Funksiya limiti, limitlar haqida teoremalar Ta’rif

Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta  ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa. Agar  da  funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi.
2-xossa. Agar
, ( – chekli son)
bo‘lsa, u holda  nuqtaning shunday  atrofi topiladiki, bu atrofda  funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik,

bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
da 
ya’ni  bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan  funksiyaning  nuqtaning  atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi.
3-xossa. Agar

bo‘lib,  bo‘lsa, u holda  nuqtaning shunday  atrofi topiladiki, bu atrofda

bo‘ladi.
Shartga ko‘ra
.
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra  uchun shunday  son topiladiki,  ,  ,  uchun

bo‘ladi. Bu esa  da  bo‘lishini bildiradi.
Faraz qilaylik,  va  funksiyalar  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
4-xossa. Agar
, 
bo‘lib,  da  tengsizlik bajarilsa, u holda  , ya’ni

bo‘ladi.
Aytaylik,
, 
bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra  ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun

da  ,

(1)

bo‘ladi.
Ravshanki,  da

(2)

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan  , ya’ni  bo‘lishini topamiz. ►
5-xossa. Faraz qilaylik,
, 
limitlar mavjud bo‘lsin. U holda
a)  da  ;
b) 
v) 
g) Agar  bo‘lsa,  ;
bo‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.
2-misol. Ushbu

limit hisoblansin.
Ma’lumki,  . Shuni hisobga olib topamiz: