Invariantlar


I bob. Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamalari



Download 259,67 Kb.
bet2/9
Sana30.05.2022
Hajmi259,67 Kb.
#620486
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
invariantlar yordamida ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini231 (2)

I bob. Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamalari.




1.1-§. Chiziq haqida tushuncha.



Ta’rif. Tekislikdagi biror affin reperda
F (x, y)  0
tenglamaning chap


tomoni
x, y
ga nisbatan algebraik ko’phad, ya’ni
a xi y j ko’rinishdagi hadlarning




i j
algebraik yig’indisidan iborat bo’lsa, bu tenglama bilan aniqlanuvchi nuqtalar to’plami algebraik chiziq, tenglama esa algebraik tenglama deyiladi.



i, j manfiy bo’lmagan butun sonlar bo’lib,
i j son
a xi y j
hadning


i j
darajasi deyiladi.


i, j
darajalar yig’indisining maksimal qiymati
F x, y

ko’phadning darajasi, shu bilan bir vaqtda deyiladi.
Fx, y  0 tenglamaning ham darajasi


Masalan,


Fx, y  Ax By C  0

birinchi darajali algebraik tenglama,




Fx, y  Ax2Bxy Cy 2Dx Ey F  0

ikkinchi darajali algebraik tenglamadir. Algebraik bo’lmagan barcha chiziqlar


transtseendent chiziqlar deyiladi.

Algebraik bo’lmagan chiziqlarga misollar sifatida ushbu tenglamalarning grafiklarini ko’rsatish mumkin:


y  sin x  0, y tgx  0, y  lg x  0, y ax  0.


Ta’rif. Biror affin reperda n- darajali algebraik tenglama bilan aniqlanadigan figura n-tartibli algebraik chiziq deb ataladi.
Biz tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli algebraik chiziqlarni tekshirish bilan cheklanamiz.
Teorema. Bir affin reperdan ikkinchi affin reperga o’tishda chiziqning algebraikligi va uning tartibi o’zgarmaydi.

Isbot. Tekislikdagi biror O, e , e
affin reperda biror l chiziq n- darajali

1 2

Fx, y  0 algebraik tenglama bilan aniqlangan bo’lsin. O, e, e
yangi affin

1 2

reperni olamiz. Bu reperlar orasidagi bog’lanish bizga ma’lum:





x a1 x b1 y c1 ,
y a2 x b2 y c2 ,


bu yerda
a1 b1 a2 b2


 0.

(1.1.1)





i j
l chiziqning yangi koordinatalardagi tenglamasini hosil qilish uchun uningtenglamasidagi eski o’zgaruvchilarni (1.1.1) formulalar bo’yicha

almashtiramiz. Natijada
Fx, y  0
tenglamadagi har bir
a xi y j hadning o’rnida



a a x b y c i a x b y c j
i j 1 1 1 2 2 2
ko’rinishdagi had hosil bo’ladi. Barcha shundan hadlardan qavslarni ochib

ixchamlasak,
Ô x, y  0
ko’rinishdagi algebraik tenglama hosil bo’ladi.

Ô x, y  0
tenglamaning har bir hadi
bst
xs yt
ko’rinishdagi hadlardan iborat

bo’lib, har bir shunday hadning daraja ko’rsatkichi
s t i j . Agar

Ô (x, y) ko’phadning darajasini m bilan belgilasak, natijada bo’lamiz.
m n ga ega

Endi m ning n dan kichik bo’la olmasligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik,



m n bo’lsin. mavjud:
a1 b1 0
a2 b2
shartda (1.1.1) almashtirishga teskari almashtirish

b1 c1
b2 b b c

x
x 1 y 2 2

a b



  
 
1 1
(1.1.2)

a b



y

a 2




x a1 y
 
1 2


(1.1.2) dan
x, y ning qiymatlarini
Ô x, y  0
tenglamaning chap

tomoniga qo’ysak, yana
Fx, y  0
tenglamaga qaytamiz. Yuqoridagi


mulohazani takrorlasak, hosil bo’lgan F(x, y) ko’phadning darajasi
n m
bo’ladi.

Bir vaqtda ham darajasi m=n .
m n , ham
n m yuz bera olmaydi. Demak, Ô (x, y)
ko’phadning

Xullas, algebraik chiziqning tartibi va uning algebraikligi affin (yoki dekart) koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog’liq emas. Shuning uchun chiziqlarning algebraik va transtsendent chiziqlarga bo’linishida faqat affin koordinatalar sistemasi (dekart koordinatalar sistemasi) ko’zda tutiladi.




Qutb koordinatalar sistemasida chiziqlarni bu tariqa sinflarga ajratib bo’lmaydi. Chunonchi markazi qutb va radiusi a ga teng aylana tenglamasi r a  0 dan iborat bo’lib, u r ga nisbatan
birinchi darajali, ya’ni algebraik 0
tenglamadir. Shu aylana uchun qutb aylananing o’zida olinsa, aylana
r  2a cos  0 tenglama bilan, ya’ni

transtsendent tenglama bilan ifodalanadi.
(1- chizma).

(1- chizma)



To’g’ri chiziqning turli tenglamalari.




Ta’rif. To’g’ri chiziqqa parallel har qanday vektor uning yo’naltiruvchi vektori deyiladi.
Quyida biz to’g’ri chiziqning berilish usullariga qarab uning tenglamasini keltirib chiqaramiz.

  1. To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari. Tekislikda u to’g’ri

chiziqning vaziyati biror O, e , e
affin reperga nisbatan shu to’g’ri chiziqqa

1 2

tegishli
M 0 x0 , y0
nuqta va yo’naltiruvchi
ua , a
vektor bilan to’la aniqlanadi




1

2
(2-chizma). Bu ma’lumotlarga asoslanib, u to’g’ri chiziqning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M orqali u to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasini belgilaymiz. U holda
M0M vektorni yo’naltiruvchi vektor sifatida olish mumkin.



Demak, shunday t son topiladiki ,

0
M M tu
(1.1.3)

bo’ladi. Aksincha, biror M nuqta uchun munosabat o’rinli bo’lsa, u holda




M 0 M
faqat
u . Demak, (1.1.3) munosabat
u to’g’ri chiziqqa tegishli M

nuqtalar uchungina bajariladi, M, M0


nuqtalarning radius-vektorlarini mos

ravishda
r, r bilan belgilasak, ya’ni


0

0
r OM , r


OM 0

bo’lsa, u holda




0

0
M M r r .
2-chizma



(1.1.3) tenglikdan



0
r r



  • tu.

(1.1.4)

Bu tenglama u to’g’ri chiziqning vektorli tenglamasi deb ataladi. t ga turli hil qiymatlar berib, u ga tegishli nuqtalarning radius-vektorlarini hosil qilamiz; (1.1.4) tenglamaga kirgan t o’zgaruvchi parametr deb ataladi.


Endi (1.1.4) ni koordinatalarini yozaylik. M nuqtaning koordinatalarini x, y



bilan, M0 nuqtaning koordinatalarini tenglamalar hosil qilinadi:
x0 , y0
bilan belgilasak, natijada ushbu


x x0 a1t ,
y y0 a0t .
(1.1.5)

Bu tenglamalar to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari deb ataladi.


Agar u to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan birortasiga ham parallel



bo’lmasa, ya’ni
a1a2  0 shart bajarilsa, (1.1.5) dan ushbu

x x0 a1
y y0
a2
(1.1.6)


tenglamani hosil qilamiz. Undan


a2 x a1 y   a2 x0 a1 y0   0.
(1.1.7)

Bu yerda shartga ko’ra a1 , a2 lardan kamida bittasi noldan farqli, shu sababli (1.1.7) birinchi darajali tenglamadir. SHuning bilan ushbu muhum xulosaga keldik: har qanday to’g’ri chiziq birinchi tartibli algebraik chiziqdir.




Download 259,67 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish