Giperbola shakli. Giperbolaning
x 2 y 2
a 2 b2 1
tenglamasiga asoslanib uning shaklini aniqlaymiz.
Ellips tenglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab giperbolaning koordinatalar boshi, koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligi aniqlanadi.
Giperbola Ox o’qni
A1a, 0 va
A2 a, 0nuqtalarda kesadi. (1.2.25)
tenglama bilan aniqlangan giperbola Oy o’q bilan kesishmaydi. Haqiqatan
(1.2.25) tenglamaga x 0
ni qo’ysak,
y 2
b 2 1
. Ravshanki, bu tenglik haqiqiy
sonlar sohasida o’rinli bo’lmaydi.
A1, A2 nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Shunday qilib, giperbolaning ikkita uchi bor ekan. Giperbolaning uchlari orasidagi masofa uning haqiqiy o’qi deyiladi.
Ordinatalar o’qida 0 dan b masofada turuvchi
B10,b va
B2 0, b
nuqtalarni belgilaymiz.
B1B2 2b ni giperbolaning mavhum o’qi deyiladi.
Agar
M x, y nuqta giperbolada yotsa, uning uchun (1.2.25) tenglamadan:
x a . Demak,
x a
to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan
giperbolaning nuqtalari yo’q .
(1.2.25) tenglamani y ordinataga nisbatan yechamiz:
y b
a
x2 a2 . (1.2.34)
Bu tenglamadan ko’rinadiki, x miqdor a dan gacha ortganda va –a dan
gacha kamayganda y miqdor
y
oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi.
Demak, giperbola ikki qismdan iborat bo’lib, ular giperbolaning tarmoqlari
deyiladi.
Giperbolaning bir (o’ng) tarmog’i x a yarim tekislikda, ikkinchi (chap)
tarmog’i x a yarim tekislikda joylashgan.
Eslatma. Agar giperbolaning fokuslari ordinatalar o’qida joylashgan
y 2 x 2
bo’lsa, uning kanonik tenglamasi b2 a 2 1 ko’rinishda bo’ladi.
Giperbola asimptotalari. Giperbolaning shaklini yana ham aniqroq tasavvur qilish maqsadida tekis (yassi) chiziqning asimptotasi tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. Agar MG nuqta shu G chiziq bo’ylab harakatlanib borganida uning u to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi nolga intilsa, to’g’ri chiziq G chiziqning asimptotasi deyiladi.
b b
x 2 y 2
Teorema. y
asimptotalaridir.
x, y
a
x to’g’ri chiziqlar
2
a 2
1 giperbolaning
Isbot. Giperbola koordinatalar o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun giperbolaning birinchi chorakdagi qisminigina olish yetarli. SHu
maqsadda
x a
da giperbolaning birinchi chorakdagi qismini aniqlaydigan
y b
a
x2 a2
(1.2.35)
tenglama bilan
y b x
a
(1.2.36)
tenglamani solishtiramiz. burchak
y b x to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi va
a
koeffitsenti
k b . 11- chizmada
a
to’g’ri chiziqning birinchi chorakdagi bo’lagi tasvirlangan bo’lib, unda
OA a, AB b .
|
11-chizma
|
Giperbola va
y b x to’g’ri chiziqda mos ravishda joylashgan bir hil abstsissali
a
M x, y,
N x,Y
nuqtalarni qaraymiz. Bu ikki nuqtaning mos ordinatalari:
y b
a
x2 a2 , Y b x bo’ladi.
a
MN kesmaning uzunligini hisoblaymiz:
Y b x b x2 b
x2 a2
y Y y
a a a
yoki Y y 0 , demak,
pM , N Y y . Lekin
Y y
b x
x2 a
2
b x
x2 a2 x x2 a2
a a x
x2 a2
yoki
Y y .
Giperboladagi M nuqtadan (1.2.36) to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi R bo’lsin, u holda
pM , P pM , N pM , P .
lim
x x
ab
x 2 a 2
ifodani tekshiraylik. Uning maxraji cheksiz ortib boruvchi ikki
musbat qo’shiluvchining yig’indisidan iborat bo’lib, surati esa o’zgarmas ab
miqdordir, demak,
lim
x
0 .
U holda
pM , P pM , N dan
pM , P 0 .
Demak, giperboladagi M nuqta giperbola bo’yicha harakatlanib, uning uchidan yetarlicha uzoqlashsa, M nuqtadan (1.2.36) to’g’ri chiziqqa bo’lgan msofa nolga intiladi. Yuqoridagi ta’rifga ko’ra giperbolaning qaralayotgan qismi uchun (1.2.36) to’g’ri chiziq asimptota bo’ladi.
Giperbolaning koordinata o’qlariga
chizma
nisbatan simmetrikligidan
y b x to’g’ri
a
chiziq ham giperbolaning asimptotasidir.
Shunday qilib,
y b x, a
y b x
a
(1.2.37)
tenglamalar bilan aniqlanadigan to’g’ri chiziqlar giperbolaning asimptotalaridir (12-chizma)
Misol.
Asimptotalari
2x y 0,
2x y 0 tenglamalar bilan berilgan va fokuslari
markazdan 5 birlik masofada bo’lgan giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing.
Yechish.
Berilgan tenglamalarni
y 2x,
y 2x ko’rinishda yozib olsak hamda
(1.2.37) tenglamalar bilan solishtirsak,
b 2
a
yoki
b 2a bo’ladi. Fokuslar
markazdan 5 birlik masofada bo’lgani uchun
c 5 bo’lib,
b2 c2 a2
tenglikdan
foydalansak,
4a2 25 a2 , bundan
a2 5, a
, u holda
b 2
. SHularga
asosan giperbolaning izlanayotgan tenglamasi:
x 2 y 2
1 .
5 20
Teng tomonli giperbola. Yarim o’qlari teng bo’lgan giperbola teng tomonli deb ataladi.
x 2 y 2
a 2 b2
tenglamada b bo’lganda:
x2 y2 a2 . (1.2.38)
Teng tomonli giperbola asimptotalarining tenglamalari
y x,
y x
ko’rinishda
bo’lib, ular o’zaro perpendikulyar k1k2 1 . Bu asimptotalarni yangi koordinata o’qlari sifatida qabul qilsak, teng tomonli giperbola tenglamasi o’rta maktab
kursida ko’riladigan ixcham
xy a
ko’rinishni oladi.
Haqiqatan, Ox o’q uchun
y x
asimptotani, Oy o’q uchun esa
y x
→ → ∘
asimptotani olsak, u holda
i , i 45 .
Eski x, y koordinatalardan yangi koordinatalarga o’tish formulalaridan
x x y , y x y .
Endi
x, y koordinatalardan
x, y ga o’tsak, teng tomonli giperbolaning
yangi tenglamasini hosil qilamiz:
xy
a 2
2
yoki
y
a 2
2x .
Do'stlaringiz bilan baham: |