Invariantlar

Ellips shakli. Ellipsning _{a 2 b} ¹

bo’yicha shaklini o’rganamiz.
(1.2.7) kanonik tenglamasi

1. (1.2.7) tenglamadan ko’rinadiki, ellips ikkinchi tartibli chiziq.

2. Ellips chegaralangan chiziq (agar figuraning barcha nuqtalari biror doiraga tegishli bo’lsa, uni ^y ^M^1M chegaralangan figura deb ataladi). (1.2.7) tenglamadan ko’rinib turibdiki, ^→j uning chap tomonidagi ifoda doimo ^0i^→musbat bo’lib, har bir had quyidagi x ^shartni qanoatlantirishi kerak:^M3 ^M2 x 2  y 2 a 2 ^1,b 2 ^^1. Bundan x  a, y  b .

(6-chizma)

Demak, (1.2.7) tenglama bilan aniqlangan ellipsning barcha nuqtalari tomonlari 2a, 2b bo’lgan to’g’ri to’rtburchak ichiga joylashgan.

3. 
   (1.2.7) tenglama bilan aniqlangan ellips koordinatalar o’qlariga
   

nisbatan simmetrikdir. Haqiqatan, M (x, y) shu ellipsning biror nuqtasi bo’lsa,

ya’ni x, y sonlar (1.2.7) tenglamani qanoatlantirsa, u vaqtda (1.2.7) tenglamada

o’zgaruvchi
x, y
ning faqat kvadratlari qatnashgani uchun bu tenglamani

M₁(x, y), M ₂ (x,  y) va
M ₃ (x,  y)
nuqtalarning koordinatalari ham

qanoatlantiradi. M₁ nuqta Oy o’qqa nisbatan, M₂ nuqta Ox o’qqa nisbatan M

nuqtaga simmetrikdir. (6-chizma). Shuning uchun koordinata o’qlari ellipsning

simmetriya o’qlaridir. Simmetriya o’qlarining kesishgan nuqtasi
markazi deyiladi, fokuslar yotgan o’qi uning fokal o’qi deyiladi.
O(0, 0) ellipsning

3. 
   ellipsning koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. Masalan, Ox o’q bilan kesishgan nuqtalarini topish uchun ushbu tenglamalarni birgalikda yechamiz:
   


^ x ² _ y ² _

 _{a 2 b 2} ^1,
(1.2.14)

^_ y  0.

(1.2.14) sistemaning ikkinchi tenglamasidan y  0 ni birinchi tenglamasiga

qo’ysak,
x  a
hosil bo’ladi. Shunday qilib, ellips Ox o’qni
A₁(a, 0) va
A₂ (a, 0)

nuqtalarda kesadi. SHu singari ellipsning Oy o’q bilan kesishgan B₁(0, b) va

B₂ (0,  b) nuqtalari topiladi. Ellipsning koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtalarini uning uchlari deyiladi. Ellipsning to’rtta uchi bor, ular:


A₁ , A₂ , B₁ , B₂ .

A₁ A₂
kesma va uning uzunligi 2a ellipsning katta o’qi,
OA₁ kesma va uning

uzunligi ^a esa ellipsning katta yarim o’qi deyiladi. B₁B₂ kesma va uning uzunligi

2b ellipsning kichik o’qi, OB₁ kesma va uning uzunligi b esa ellipsning kichik yarim o’qi deyiladi.

3. 
   Endi (1.2.7) tenglamani y ga nisbatan yechaylik:
   

y   ^b
a
a²  x^{2 . (1.2.15)}

Ellips koordinata o’qlarining har biriga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun uning birinchi koordinata choragida yotgan qisminigina tekshirish yetarli.

Birinchi chorakdagi nuqtalar uchun qismi uchun
x  0, y  0
bo’lib, ellipsning bu choragidagi

y   ^b
a


a²  x^{2 . (1.2.16)}

Bundan (1.2.16) funktsiyaning monoton kamayuvchi ekanligi va a²  x²  0

bo’lishi, ya’ni
a²  x²
yoki
x  a bo’lishi bevosita ko’rinadi. Demak, faqat birinchi

chorakda ish ko’rayotganimiz uchun x  a . Yuqoridagi hollarni e’tiborga olsak,

ellipsning birinchi chorakdagi qismini 7-chizmada ko’rsatilgan
B₁ A₁
yoy deb

tasavvur qilish mumkin. Ellipsning koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligidan foydalanib, uning birinchi chorakda hosil qilingan qismi bo’yicha shaklini 8-chizmadagidek tasavvur qilish mumkin (8-chizma).

7-chizma 8-chizma

Eslatma. Agar ellipsning fokuslari ordinatalar o’qiga joylashib qolsa, uning

kanonik tenglamasi ham (1.2.7) ko’rinishda bo’ladi, bu yerda
^{b  a} .

3. Ekstsentrisitet. Ta’rif. Ellipsning fokuslari orasidagi masofani katta o’qining uzunligiga nisbati ekstsentrisitet deyiladi va ekstsentrisitet ye harfi bilan belgilanadi.

Ta’rifga ko’ra
_{e } 2c _ c
hamda
c  a  0  e  1.

2a a

Ellipsning ekstsentrisiteti uning shaklini aniqlashda muxim rolь o’ynaydi.

Haqiqatan ham, (1.2.5) dan c²  a²  b² , shuning uchun


^{c2 a2  b2}  ^b 2
e²    1 _{ } ,

_a2 _a2
 ^a 

bundan


^b  ^.
a

Ekstsentrisitet
e  1da (lekin
e  1 )
^b  0
a
bo’lib (bu yerda a o’zgarmaydi

deb faraz qilinadi), b kichiklashadi va elips Ox o’qqa qisila boradi, aksincha

e  0 bo’lsa,
^b 1 b  a ^.
a

Bu holda ellips aylanaga yaqinlasha boradi. 9-chizmada

 aylana va
 ₁, 
₂ ,  ₃
ellipslar

tasvirlangan bo’lib, e₁ , e₂ , e₃ bu

ellipslarning ekstsentrisitetlari:

e₁  e₂  e₃ .

9-chizma

Giperbola.

1. 
   Ta’rifi, kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtasidan fokuslar deb
   

ataluvchi berilgan ikkita
F₁ , F₂
nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining

absolyut qiymati berilgan kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami giperbola deb ataladi.

Giperbola ta’rifidagi berilgan kesma uzunligini
2a(a  0) bilan, fokuslari

orasidagi masofani
2c(c  0) bilan belgilaymiz.

Albatta

2a  2c .

y M →j ^0i^→F ^x 1 10-chizma

Giperboladagi M nuqtaning F1, F2 gacha masofalari uning fokal radiuslari deyiladi va r1, r2 bilan belgilanadi, ya’ni r1  pF1 , M , r2  pF2 , M . Giperbolaning ta’rifiga binoan r1  r2  2a (1.2.20)

(1.2.20) tenglik faqat giperbolada yotgan M nuqtalar uchungina o’rinli. Bu tenglikni koordinatalarda yozamiz. Buning uchun dekart reperini ellips bilan ish ko’rganimizdek qilib tanlaymiz. (10-chizma).

Fokuslar orasidagi masofa
pF₁ , F₂   2c bo’lgani uchun olingan reperga

nisbatan
F₁ c, 0,
F₂ ^ c,0^. Shu reperga nisbatan giperboladagi ixtiyoriy M

nuqtaning koordinatalarini x, y bilan belgilaylik: M(x, y). U holda

r₁ 
, r₂ 
(1.2.21)

bo’lib, (1.2.20) va (1.2.21) dan

  2a
yoki

r  r
 2a  
 2a
(1.2.22)

1 2


Giperbolani ifodalovchi (1.2.22) tenglamani soddaroq ko’rinishga keltiraylik. (1.2.22) dan:


 2a  .

Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib, soddalashtiramiz:

 a  cx  a² .

Bu tenglamani yana kvadratga ko’tarib, so’ngra soddalashtirsak,

c²  a² x²  a² y²  a² c²  a² . (1.2.23)

a²  c²  c²  a²  0 ; bu ayrimani b² bilan belgilaymiz:


b²  c²  a² . (1.2.24)

U holda (1.2.23) munosabatdan ushbu sodda tenglamaga kelamiz:

_x 2  _y 2 

_a 2 _b2
¹ . (1.2.25)

Demak, giperbola ikkinchi tartibli chiziqdir. (1.2.25) tenglama giperbolani ifodalovchi (1.2.22) tenglamaning natijasi, shunga ko’ra koordinatalari (1.2.22) tenglamani qanoatlantiradigan har bir M(x, y) nuqta (1.2.25) tenglamani ham qanoatlantiradi.

Endi buning teskarisini isbot qilaylik. M₁(x₁, y₁) (1.2.25) ni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya’ni


_x 2 _y 2
^{1  1  1} . (1.2.26)
_a 2 _b2


M₁ nuqtaning F₁, F₂ fokuslardan masofalari:

r₁ 


²  ^b2  ² 

, r₂ 

2 _
. (1.2.27)

(1.2.26) tenglikdan y_{1
a 2} x₁
a . Bu qiymatni (1.2.27) tengliklarga qo’yib,

b²  c²  a² munosabatni e’tiborga olsak,


r  ^{ c} x  a ^ , (1.2.28)


₁  ₁ 

a
 

r  ^{ c} x  a ^

(1.2.29)

a
₂  ₁ 
 


tengliklarga ega bo’lamiz, r₁, r₂ musbat sonlar, shunga ko’ra qavslar oldidagi ishoralarni shunday tanlash kerakki, (1.2.28) va (1.2.29) tengliklarning o’ng

tomonlari ham musbat bo’lsin. (1.2.26) dan
 x₁
 a . Bundan tashqari,

c  a  ^c  1^{. U holda, agar x  a bo’lsa, c} x  a  0 ^{va c} x  a  0 ^{bo’lib, (1.2.28)}
a ¹ a ¹ a ¹

va (1.2.29) tengliklardagi qavslarni + ishora bilan olamiz, ya’ni

r  ^c x  a, r  ^c x
 a ^{. (1.2.30)}

1 _a 1 2 _a 1

Bulardan
r  r  ^c x  a  ^c x  a  2a; x  a ^{bo’lsa, c} x  a  0 ^{va c} x  a  0

1 2 _a 1 _a 1 1 _a 1 _a 1

bo’lib, (1.2.28), (1.2.29) tengliklardagi qavslarni – ishora bilan olamiz, ya’ni

r  a  ^c x , r  a  ^c x ;
1 _a 1 2 _a 1

bulardan


r  r  a  ^c x  a  ^c x
 2a ^{. (1.2.31)}

1 2 _a 1 _a 1

Demak, (1.2.25) tenglamadan (1.2.22) tenglama kelib chiqadi. Shunday qilib (1.2.25) tenglama giperbolaning tenglamasidir. (1.2.25) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.
(1.2.30) va (1.2.31) tenglamalardan quyidagi natija kelib chiqadi:

giperboladagi ixtiyoriy M(x, y) nuqtaning orqali
r₁ , r₂
fokal radiuslari uning x abtsissasi

x  0


bo’lganda
r  ^c x  a,
1 _a
r  ^c x  a ^{, (1.2.32)}
2 _a

x  0


bo’lganda
r  a  ^c x,
1 _a
r  a  ^c x
2 _a

(1.2.33)

ko’rinishlarda chiziqli ifodalanadi.

Misol. Giperbolaning
F₁(10,0), F₂ (10,0) fokuslarini va nuqtalaridan biri

A12, 3 5  ni bilgan holda uning tenglamasini tuzing.

Echish. Bu yerda


r₁  pF₁, A 


r₂  pF₂ , A 
  7 .


  23 .

7  23  2a  a  8 .

Giperbola uchun b²  c²  a²  100  64  36  b  6 . Demak,

_x 2  _y 2 


¹ .
64 36

2.