Invariantlar



Download 259,67 Kb.
bet5/9
Sana30.05.2022
Hajmi259,67 Kb.
#620486
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
invariantlar yordamida ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini231 (2)

Ellips shakli. Ellipsning a 2 b 1

bo’yicha shaklini o’rganamiz.
(1.2.7) kanonik tenglamasi

1. (1.2.7) tenglamadan ko’rinadiki, ellips ikkinchi tartibli chiziq.



2. Ellips chegaralangan chiziq
(agar figuraning barcha nuqtalari biror
doiraga tegishli bo’lsa, uni y
M 1 M
chegaralangan figura deb ataladi).
(1.2.7) tenglamadan ko’rinib turibdiki, j uning chap tomonidagi ifoda doimo 0 imusbat bo’lib, har bir had quyidagi
x
shartni qanoatlantirishi kerak: M 3 M 2
x 2  y 2
a 2 1, b 2 1. Bundan x a, y b .

(6-chizma)





Demak, (1.2.7) tenglama bilan aniqlangan ellipsning barcha nuqtalari tomonlari 2a, 2b bo’lgan to’g’ri to’rtburchak ichiga joylashgan.

  1. (1.2.7) tenglama bilan aniqlangan ellips koordinatalar o’qlariga

nisbatan simmetrikdir. Haqiqatan, M (x, y) shu ellipsning biror nuqtasi bo’lsa,


ya’ni x, y sonlar (1.2.7) tenglamani qanoatlantirsa, u vaqtda (1.2.7) tenglamada





o’zgaruvchi
x, y
ning faqat kvadratlari qatnashgani uchun bu tenglamani


M1(x, y), M 2 (x,  y) va
M 3 (x,  y)
nuqtalarning koordinatalari ham

qanoatlantiradi. M1 nuqta Oy o’qqa nisbatan, M2 nuqta Ox o’qqa nisbatan M


nuqtaga simmetrikdir. (6-chizma). Shuning uchun koordinata o’qlari ellipsning





simmetriya o’qlaridir. Simmetriya o’qlarining kesishgan nuqtasi
markazi deyiladi, fokuslar yotgan o’qi uning fokal o’qi deyiladi.
O(0, 0) ellipsning

  1. ellipsning koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. Masalan, Ox o’q bilan kesishgan nuqtalarini topish uchun ushbu tenglamalarni birgalikda yechamiz:





x 2 y 2



a 2 b 2 1,
(1.2.14)

y  0.

(1.2.14) sistemaning ikkinchi tenglamasidan y  0 ni birinchi tenglamasiga





qo’ysak,
x  a
hosil bo’ladi. Shunday qilib, ellips Ox o’qni
A1(a, 0) va
A2 (a, 0)

nuqtalarda kesadi. SHu singari ellipsning Oy o’q bilan kesishgan B1(0, b) va




B2 (0,  b) nuqtalari topiladi. Ellipsning koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtalarini uning uchlari deyiladi. Ellipsning to’rtta uchi bor, ular:


A1 , A2 , B1 , B2 .



A1 A2
kesma va uning uzunligi 2a ellipsning katta o’qi,
OA1 kesma va uning

uzunligi a esa ellipsning katta yarim o’qi deyiladi. B1B2 kesma va uning uzunligi


2b ellipsning kichik o’qi, OB1 kesma va uning uzunligi b esa ellipsning kichik yarim o’qi deyiladi.



  1. Endi (1.2.7) tenglamani y ga nisbatan yechaylik:




y   b
a
a2x2 . (1.2.15)

Ellips koordinata o’qlarining har biriga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun uning birinchi koordinata choragida yotgan qisminigina tekshirish yetarli.



Birinchi chorakdagi nuqtalar uchun qismi uchun
x  0, y  0
bo’lib, ellipsning bu choragidagi

y   b
a


a2x2 . (1.2.16)

Bundan (1.2.16) funktsiyaning monoton kamayuvchi ekanligi va a2x2  0

bo’lishi, ya’ni
a2x2
yoki
x a bo’lishi bevosita ko’rinadi. Demak, faqat birinchi



chorakda ish ko’rayotganimiz uchun x a . Yuqoridagi hollarni e’tiborga olsak,



ellipsning birinchi chorakdagi qismini 7-chizmada ko’rsatilgan
B1 A1
yoy deb

tasavvur qilish mumkin. Ellipsning koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligidan foydalanib, uning birinchi chorakda hosil qilingan qismi bo’yicha shaklini 8-chizmadagidek tasavvur qilish mumkin (8-chizma).




7-chizma 8-chizma


Eslatma. Agar ellipsning fokuslari ordinatalar o’qiga joylashib qolsa, uning



kanonik tenglamasi ham (1.2.7) ko’rinishda bo’ladi, bu yerda
b a .

3. Ekstsentrisitet. Ta’rif. Ellipsning fokuslari orasidagi masofani katta o’qining uzunligiga nisbati ekstsentrisitet deyiladi va ekstsentrisitet ye harfi bilan belgilanadi.



Ta’rifga ko’ra
e 2c c
hamda
c a  0  e  1.

2a a

Ellipsning ekstsentrisiteti uning shaklini aniqlashda muxim rolь o’ynaydi.


Haqiqatan ham, (1.2.5) dan c2a2b2 , shuning uchun


c2 a2 b2 b 2
e2    1 ,

a2 a2
a


bundan


b .
a


Ekstsentrisitet
e  1da (lekin
e  1 )
b  0
a
bo’lib (bu yerda a o’zgarmaydi

deb faraz qilinadi), b kichiklashadi va elips Ox o’qqa qisila boradi, aksincha





e  0 bo’lsa,
b 1 b a .
a

Bu holda ellips aylanaga yaqinlasha boradi. 9-chizmada

 aylana va
1, 
2 ,  3
ellipslar



tasvirlangan bo’lib, e1 , e2 , e3 bu

ellipslarning ekstsentrisitetlari:


e1 e2 e3 .

9-chizma

Giperbola.





  1. Ta’rifi, kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtasidan fokuslar deb




ataluvchi berilgan ikkita
F1 , F2
nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining

absolyut qiymati berilgan kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami giperbola deb ataladi.





Giperbola ta’rifidagi berilgan kesma uzunligini
2a(a  0) bilan, fokuslari


orasidagi masofani
2c(c  0) bilan belgilaymiz.

Albatta



2a  2c .



y


M
j
0 i F x
1

10-chizma



Giperboladagi M nuqtaning F1, F2
gacha masofalari uning fokal radiuslari
deyiladi va r1, r2 bilan belgilanadi, ya’ni


r1 pF1 , M , r2 pF2 , M .

Giperbolaning ta’rifiga binoan




r1r2  2a (1.2.20)

(1.2.20) tenglik faqat giperbolada yotgan M nuqtalar uchungina o’rinli. Bu tenglikni koordinatalarda yozamiz. Buning uchun dekart reperini ellips bilan ish ko’rganimizdek qilib tanlaymiz. (10-chizma).



Fokuslar orasidagi masofa
pF1 , F2   2c bo’lgani uchun olingan reperga

nisbatan
F1 c, 0,
F2 c,0. Shu reperga nisbatan giperboladagi ixtiyoriy M



nuqtaning koordinatalarini x, y bilan belgilaylik: M(x, y). U holda



r1
, r2
(1.2.21)

bo’lib, (1.2.20) va (1.2.21) dan




  2a
yoki

r r
 2a  
 2a
(1.2.22)

1 2


Giperbolani ifodalovchi (1.2.22) tenglamani soddaroq ko’rinishga keltiraylik. (1.2.22) dan:


 2a  .

Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib, soddalashtiramiz:




a cx a2 .

Bu tenglamani yana kvadratga ko’tarib, so’ngra soddalashtirsak,


c2a2x2a2 y2a2c2a2 . (1.2.23)




a2c2c2a2  0 ; bu ayrimani b2 bilan belgilaymiz:


b2c2a2 . (1.2.24)

U holda (1.2.23) munosabatdan ushbu sodda tenglamaga kelamiz:




x 2  y 2 



a 2 b2
1 . (1.2.25)

Demak, giperbola ikkinchi tartibli chiziqdir. (1.2.25) tenglama giperbolani ifodalovchi (1.2.22) tenglamaning natijasi, shunga ko’ra koordinatalari (1.2.22) tenglamani qanoatlantiradigan har bir M(x, y) nuqta (1.2.25) tenglamani ham qanoatlantiradi.


Endi buning teskarisini isbot qilaylik. M1(x1, y1) (1.2.25) ni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya’ni


x 2 y 2
1 1 1 . (1.2.26)
a 2 b2


M1 nuqtaning F1, F2 fokuslardan masofalari:

r1


2 b2  2

, r2




2
. (1.2.27)

(1.2.26) tenglikdan y1
a 2 x1
a . Bu qiymatni (1.2.27) tengliklarga qo’yib,



b2c2a2 munosabatni e’tiborga olsak,


r   c x a , (1.2.28)


11

a
 

r   c x a

(1.2.29)



a
21
 


tengliklarga ega bo’lamiz, r1, r2 musbat sonlar, shunga ko’ra qavslar oldidagi ishoralarni shunday tanlash kerakki, (1.2.28) va (1.2.29) tengliklarning o’ng

tomonlari ham musbat bo’lsin. (1.2.26) dan
x1
a . Bundan tashqari,



c a c  1. U holda, agar x a bo’lsa, c x a  0 va c x a  0 bo’lib, (1.2.28)
a 1 a 1 a 1

va (1.2.29) tengliklardagi qavslarni + ishora bilan olamiz, ya’ni





r c x a, r c x
a . (1.2.30)

1 a 1 2 a 1





Bulardan
r r c x a c x a  2a; x  a bo’lsa, c x a  0 va c x a  0

1 2 a 1 a 1 1 a 1 a 1

bo’lib, (1.2.28), (1.2.29) tengliklardagi qavslarni – ishora bilan olamiz, ya’ni




r a c x , r  a c x ;
1 a 1 2 a 1

bulardan


r r a c x a c x
 2a . (1.2.31)

1 2 a 1 a 1

Demak, (1.2.25) tenglamadan (1.2.22) tenglama kelib chiqadi. Shunday qilib (1.2.25) tenglama giperbolaning tenglamasidir. (1.2.25) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.
(1.2.30) va (1.2.31) tenglamalardan quyidagi natija kelib chiqadi:



giperboladagi ixtiyoriy M(x, y) nuqtaning orqali
r1 , r2
fokal radiuslari uning x abtsissasi



x  0


bo’lganda
r c x a,
1 a
r c x a , (1.2.32)
2 a




x  0


bo’lganda
r a c x,
1 a
r  a c x
2 a

(1.2.33)


ko’rinishlarda chiziqli ifodalanadi.



Misol. Giperbolaning
F1(10,0), F2 (10,0) fokuslarini va nuqtalaridan biri

A12, 3 5  ni bilgan holda uning tenglamasini tuzing.



Echish. Bu yerda


r1pF1, A 


r2pF2 , A 
  7 .


  23 .



7  23  2a a  8 .

Giperbola uchun b2c2a2  100  64  36  b  6 . Demak,




x 2  y 2 


1 .
64 36




  1. Download 259,67 Kb.

    Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish