To’g’ri chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash.
Quyida biz biror affin reperga nisbatan tenglamasi bilan berilgan to’g’ri chiziqni yasashning bir necha usullari bilan tanishamiz.
To’g’ri chiziq o’zining ikki nuqtasining berilishi bilan to’liq aniqlanganlii
uchun u biror O, e→ , e→ reperga nisbatan qanday ko’rinishdagi tenglamasi bilan
1 2
berilmasin, uni yasash uchun ikki nuqtasini yasash kifoyadir.
Misol. x 2 y 3 0 tenglama bilan berilgan to’g’ri chiziqni yasang.
To’g’ri chiziqning ikki nuqtasini topish uchun berilgan tenglaadagi x o’zgaruvchiga ixtiyoriy ikki qiymatni berib, tenglamadan bu qiymatlarga y ning mos qiymatlarini topamiz;
x=1 da 1+2y-3=0 dan y=1,
Topilgan
M1 1,1,
M 2 1, 2
x=-1 da -1+2y-3=0 dan y=2.
nuqtalarni yasab, ularni tutashtirsak, izlanayotgan
M1M 2 to’g’ri chiziq xosil bo’ladi. (3-chizma).
to’g’ri chiziq O, e→ , e→
reperda
y kx b ko’rinishdagi tenglama bilan
1 2
berilgan bo’lsa, uni quyidagicha yasash mumkin. Ordinatalar o’qida (0, b)
nuqtani yasaymiz hamda 1, k vektorni yasab, to’g’ri chiziq o’tkazamiz.
(0, b) nuqtadan u vektorga parallel
M
y
2 A
u→
e
→
2
e
0
x
M1 →
1
e
→
2
17
e
0
→ B
1
(3-chizma) (4-chizma)
Misol. y 2x 3 tenglama bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziqni yasang.
(0, 3) nuqtani yasaymiz. 4-chizmada bu V nuqtadir. So’ngra shu chizmada
1
u→ e→
2e→
vektorni yasaymiz. Chizmada bu OA vektordir. Endi V nuqtadan OA
2
vektorga parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz.
Agar to’g’ri chiziq
x x0 a1t,
0
y y a t
2
parametrik tenglamalari bilan berilsa, bu to’g’ri chiziq ham 2-holdagi singari
(x0 , y0 ) nuqtadan o’tib a1 , a2 vektorga parallel to’g’ri chiziq kabi yasaladi.
1.2-§. Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamalari.
Ellips
Ta’rifi, kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtadan fokuslar deb
ataluvchi berilgan ikki
F1 , F2
nuqtagacha bo’lgan masofalari yig’indisi berilgan
PQ kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami ellips deb ataladi. Berilgan kesma uzunligi fokuslar orasidagi masofadan katta.
Berilgan kesmaning uzunligini 2a(a 0) bilan, fokuslar orasidagi masofani
2c(c 0) bilan belgilaylik. Tarifga ko’ra a > c.
Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning
F1 va F2
fokuslardan masofalari uning
fokal radiuslari deyiladi va mos ravishda
r1 , r2
bilan belgilanadi, ya’ni
r1 pF1 , M va r2 pF2 , M .
Ellipsning ta’rifiga ko’ra
r1 , r2
fokal radiuslarning yig’indisi o’zgarmas
bo’lib, berilgan kesma uzunligiga teng, ya’ni
pF1 , M pF2 , M 2a yoki
r1 r2 2a . (1.2.1)
(1.2.1) tenglik ellipsga tegishli ixtiyoriy nuqta uchun o’rinli bo’lib, uni koordinatalarda ifodalaylik.
Dekart reperini tenglamaning sodda bo’lishiga imkon beradigan qilib tanlaymiz: abstsissalar o’qini fokuslar
orqali F2
dan
F1 ga yo’naltirib
o’tkazamiz.
F1 F2
kesmaning o’rta
perpendikulyarini 5-chizmada ko’rsatilgan yo’nalishda ordinatalar o’qi deb olamiz.
(5-chizma)
Tanlangan bu O, i→, →j reperda
F1 va
F2 nuqtalarning koordinatalari mos
ravishda
(c, 0) va
(c, 0) bo’ladi.
Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini x, y bilan belgilasak, ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra
r1 ,
r2 (1.2.2)
r1, r2 ning (1.2.2) munosabatlardagi qiymatlarini (1.2.1) tenglikka qo’yib,
ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:
2 a . (1.2.3)
(1.2.3) tenglama tanlangan reperga nisbatan ellipsning tenglamasidir, chunki M(x, y) nuqtaning koordinatalari bu tenglamani faqat M nuqta ellipsga tegishli bo’lgan holdagina qanoatlantiradi.
(1.2.3) tenglamaning birinchi hadini o’ng tomonga o’tkazib, hosil bo’lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga oshirsak.
x2 2 cx c2 y2 4 a2 4 a x2 2 cx c2 y2 .
Bundan
2 cx 4 a2 2 cx 4 a
yoki
a a2 cx .
Hosil qilingan tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga oshiramiz:
a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 a4 2a2cx c2 x2 ,
bundan
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 . (1.2.4)
a c a2 c2 , demak,
a2 c2 0 , bu musbat sonni b2
deb olaylik:
b2 a2 c2 . (1.2.5)
u holda (1.2.4) tenglik quyidagi ko’rinishda yoziladi:
b2 x2 a2 y 2 a2b2 . (1.2.6)
(1.2.6) ni a 2b 2 ga bo’lib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:
x 2 y 2
a 2 b2
1. (1.2.7)
Endi (1.2.7) tenglama haqiqatan ham ellipsni ifodalashini isbot qilamiz, chunkiellips tenglamasi (1.2.3) ko’rinishda olingan edi. (1.2.7) tenglama (1.2.3) tenglamani ikki marta radikallardan qutqarish bilan hosil qilindi. Demak, (1.2.7) tenglama (1.2.3) tenglamaning natijasi, boshqacha aytganda, koordinatalari (1.2.3) ni qanoatlantiradigan har bir nuqta (1.2.7) tenglamaning natijasi ekani ravshan emas. (1.2.3) tenglama (1.2.7) tenglamaning natijasi ekanini ko’rsatamiz.
M1 x1 , y1 (7) tenglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya’ni
x 2 y 2
1 1 1. (1.2.8)
a 2 b2
M1 nuqta uchun
r1 r2 2a
tenglikning bajarilishini ko’rsatamiz.
M1 nuqtaning fokal radiuslari,
r1 , (1.2.9)
r2 . (1.2.10)
2 2 x2
(1.2.8) tenglikdan
y1 b 1 1 , bu qiymatni (1.2.9) va (1.2.10) tengliklarga
qo’yib,
r1
a 2
.
r2
tengliklarga ega bo’lamiz. (1.2.5) munosabatdan
c2 a2 b2
va a2 b2 c2 ,
shuning uchun yuqoridagi tengliklar ushbu ko’rinishni oladi:
c c
r1
a x1 a a a x1 ,
c c
r2
a x1 a a a x1 . (1.2.11)
Yuqoridagi sabablarga ko’ra 0 c 1, (1.2.8) tenglikdan x
a . U holda
a
x a , shuning uchun a c x 0 va a c x
1
0 . Bularni e’tiborga olsak,
1 a 1 a 1
(1.2.11) tengliklar ushbu ko’rinishni oladi:
r a c x ; r a c x . (1.2.12)
1 a 1 2 a 1
(1.2.12) tengliklarni hadlab qo’shsak,
r1 r2 2a
ga ega bo’lamiz. Demak, koordinatalari (1.2.7) tenglamani qanoatlantiradigan
har qanday M1 (x1 , y1 ) nuqta ellipsga tegishli.
(1.2.7) tenglama ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
(1.2.12) tengliklardan ushbu xulosa kelib chiqadi: ellipsning ixtiyoriy
M x, y nuqtasining
r1 , r2 fokal radiuslari bu nuqtaning abtsissasi orqali
r a c x va
1 a
r a c x
2 a
(1.2.13)
ko’rinishda chiziqli ifodalanadi.
Agar xususiy holda
a b
bo’lsa, ellipsning tenglamasi
x y2 a2
ko’rinishni oladi. Bu tenglama markazi koordinatalar boshida va radiusi a ga
teng aylanani ifodalaydi. Demak, aylana ellipsning xususiy holi.
a b bo’lganda
b2 a2 c2
dan
c 0. c 0 bo’lganda
a2 b2 c2 a b .
Misol. Har bir nuqtasidan
F1(4, 0) ,
F2 (4, 0)
nuqtalargacha bo’lgan
masofalar yig’indisi 10 ga teng nuqtalar to’plamining tenglamasini toping.
Echish. Izlanayotgan nuqtalar to’plami berilishiga ko’ra ellipsdir va
2a 10 a 5,
c 4, b2 a2 c2
munosabatdan
b2 9, b 3. Demak,
izlanayotgan ellipsning kanonik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:
x 2 y 2
1 .
25 9
2
x 2 y 2
Do'stlaringiz bilan baham: |