Invariantlar


To’g’ri chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash



Download 259,67 Kb.
bet4/9
Sana30.05.2022
Hajmi259,67 Kb.
#620486
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
invariantlar yordamida ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini231 (2)

To’g’ri chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash.


Quyida biz biror affin reperga nisbatan tenglamasi bilan berilgan to’g’ri chiziqni yasashning bir necha usullari bilan tanishamiz.



  1. To’g’ri chiziq o’zining ikki nuqtasining berilishi bilan to’liq aniqlanganlii

uchun u biror O, e , e  reperga nisbatan qanday ko’rinishdagi tenglamasi bilan
1 2

berilmasin, uni yasash uchun ikki nuqtasini yasash kifoyadir.


Misol. x  2 y  3  0 tenglama bilan berilgan to’g’ri chiziqni yasang.


To’g’ri chiziqning ikki nuqtasini topish uchun berilgan tenglaadagi x o’zgaruvchiga ixtiyoriy ikki qiymatni berib, tenglamadan bu qiymatlarga y ning mos qiymatlarini topamiz;


x=1 da 1+2y-3=0 dan y=1,



Topilgan


M1 1,1,


M 2 1, 2
x=-1 da -1+2y-3=0 dan y=2.

nuqtalarni yasab, ularni tutashtirsak, izlanayotgan





M1M 2 to’g’ri chiziq xosil bo’ladi. (3-chizma).



  1. to’g’ri chiziq O, e , e

reperda
y kx b ko’rinishdagi tenglama bilan

1 2

berilgan bo’lsa, uni quyidagicha yasash mumkin. Ordinatalar o’qida (0, b)



nuqtani yasaymiz hamda 1, k vektorni yasab, to’g’ri chiziq o’tkazamiz.
(0, b) nuqtadan u vektorga parallel




M
y
2 A
u

e

2

e

0

x
M1
1

e

2
17

e

0
B
1

(3-chizma) (4-chizma)


Misol. y  2x  3 tenglama bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziqni yasang.




(0,  3) nuqtani yasaymiz. 4-chizmada bu V nuqtadir. So’ngra shu chizmada


1
u e
 2e
vektorni yasaymiz. Chizmada bu OA vektordir. Endi V nuqtadan OA




2
vektorga parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz.



  1. Agar to’g’ri chiziq

x x0 a1t,





0
y y a t
2

parametrik tenglamalari bilan berilsa, bu to’g’ri chiziq ham 2-holdagi singari


(x0 , y0 ) nuqtadan o’tib a1 , a2 vektorga parallel to’g’ri chiziq kabi yasaladi.




1.2-§. Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamalari.


Ellips



  1. Ta’rifi, kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtadan fokuslar deb




ataluvchi berilgan ikki
F1 , F2
nuqtagacha bo’lgan masofalari yig’indisi berilgan



PQ kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami ellips deb ataladi. Berilgan kesma uzunligi fokuslar orasidagi masofadan katta.

Berilgan kesmaning uzunligini 2a(a  0) bilan, fokuslar orasidagi masofani


2c(c  0) bilan belgilaylik. Tarifga ko’ra a > c.





Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning
F1 va F2
fokuslardan masofalari uning


fokal radiuslari deyiladi va mos ravishda
r1 , r2
bilan belgilanadi, ya’ni

r1 pF1 , M  va r2 pF2 , M .



Ellipsning ta’rifiga ko’ra
r1 , r2
fokal radiuslarning yig’indisi o’zgarmas


bo’lib, berilgan kesma uzunligiga teng, ya’ni


pF1 , M  pF2 , M   2a yoki
r1r2  2a . (1.2.1)



(1.2.1) tenglik ellipsga tegishli ixtiyoriy nuqta uchun o’rinli bo’lib, uni koordinatalarda ifodalaylik.
Dekart reperini tenglamaning sodda bo’lishiga imkon beradigan qilib tanlaymiz: abstsissalar o’qini fokuslar

orqali F2
dan
F1 ga yo’naltirib


o’tkazamiz.
F1 F2
kesmaning o’rta

perpendikulyarini 5-chizmada ko’rsatilgan yo’nalishda ordinatalar o’qi deb olamiz.



(5-chizma)



Tanlangan bu O, i, j  reperda


F1 va


F2 nuqtalarning koordinatalari mos


ravishda
(c, 0) va
(c, 0) bo’ladi.

Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini x, y bilan belgilasak, ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra




r1  ,


r2  (1.2.2)


r1, r2 ning (1.2.2) munosabatlardagi qiymatlarini (1.2.1) tenglikka qo’yib,

ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:




  2a . (1.2.3)

(1.2.3) tenglama tanlangan reperga nisbatan ellipsning tenglamasidir, chunki M(x, y) nuqtaning koordinatalari bu tenglamani faqat M nuqta ellipsga tegishli bo’lgan holdagina qanoatlantiradi.


(1.2.3) tenglamaning birinchi hadini o’ng tomonga o’tkazib, hosil bo’lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga oshirsak.


x2  2cx c2y2  4a2  4a x2  2cx c2y2 .

Bundan



2cx  4a2  2cx  4a

yoki



a a2cx .

Hosil qilingan tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga oshiramiz:


a2 x2  2a2cx a2c2a2 y2a4  2a2cx c2 x2 ,



bundan

a2c2x2a2 y2a2a2c2 . (1.2.4)




a c a2c2 , demak,
a2c2  0 , bu musbat sonni b2
deb olaylik:



b2a2c2 . (1.2.5)

u holda (1.2.4) tenglik quyidagi ko’rinishda yoziladi:




b2 x2a2 y 2a2b2 . (1.2.6)

(1.2.6) ni a 2b 2 ga bo’lib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:




x 2  y 2 



a 2 b2
1. (1.2.7)

Endi (1.2.7) tenglama haqiqatan ham ellipsni ifodalashini isbot qilamiz, chunkiellips tenglamasi (1.2.3) ko’rinishda olingan edi. (1.2.7) tenglama (1.2.3) tenglamani ikki marta radikallardan qutqarish bilan hosil qilindi. Demak, (1.2.7) tenglama (1.2.3) tenglamaning natijasi, boshqacha aytganda, koordinatalari (1.2.3) ni qanoatlantiradigan har bir nuqta (1.2.7) tenglamaning natijasi ekani ravshan emas. (1.2.3) tenglama (1.2.7) tenglamaning natijasi ekanini ko’rsatamiz.


M1 x1 , y1 (7) tenglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya’ni


x 2 y 2
1 1 1. (1.2.8)
a 2 b2



M1 nuqta uchun
r1 r2  2a
tenglikning bajarilishini ko’rsatamiz.



M1 nuqtaning fokal radiuslari,

r1  , (1.2.9)


r2  . (1.2.10)


2 2 x2

(1.2.8) tenglikdan
y1 b 1 1 , bu qiymatni (1.2.9) va (1.2.10) tengliklarga

qo’yib,






r1
a 2
.



r2

tengliklarga ega bo’lamiz. (1.2.5) munosabatdan
c2a2b2
va a2b2c2 ,

shuning uchun yuqoridagi tengliklar ushbu ko’rinishni oladi:


c c

r1
a x1 a a a x1 ,

c c

r2
a x1 a a a x1 . (1.2.11)


Yuqoridagi sabablarga ko’ra 0  c  1, (1.2.8) tenglikdan x
a . U holda

a
x a , shuning uchun a c x  0 va a c x
1

  • 0 . Bularni e’tiborga olsak,

1 a 1 a 1

(1.2.11) tengliklar ushbu ko’rinishni oladi:




r a c x ; r a c x . (1.2.12)
1 a 1 2 a 1
(1.2.12) tengliklarni hadlab qo’shsak,

r1 r2  2a

ga ega bo’lamiz. Demak, koordinatalari (1.2.7) tenglamani qanoatlantiradigan




har qanday M1 (x1 , y1 ) nuqta ellipsga tegishli.

(1.2.7) tenglama ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.


(1.2.12) tengliklardan ushbu xulosa kelib chiqadi: ellipsning ixtiyoriy



M x, y nuqtasining
r1 , r2 fokal radiuslari bu nuqtaning abtsissasi orqali


r a c x va
1 a
r a c x
2 a
(1.2.13)

ko’rinishda chiziqli ifodalanadi.



Agar xususiy holda
a b
bo’lsa, ellipsning tenglamasi



x y2a2

ko’rinishni oladi. Bu tenglama markazi koordinatalar boshida va radiusi a ga



teng aylanani ifodalaydi. Demak, aylana ellipsning xususiy holi.
a b bo’lganda


b2a2c2
dan
c  0. c  0 bo’lganda
a2b2c2a b .


Misol. Har bir nuqtasidan
F1(4, 0) ,
F2 (4, 0)
nuqtalargacha bo’lgan

masofalar yig’indisi 10 ga teng nuqtalar to’plamining tenglamasini toping.


Echish. Izlanayotgan nuqtalar to’plami berilishiga ko’ra ellipsdir va



2a  10  a  5,
c  4, b2a2c2
munosabatdan
b2  9, b  3. Demak,

izlanayotgan ellipsning kanonik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:




x 2  y 2 


1 .
25 9



2
x 2  y 2 




Download 259,67 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish