Invariantlar

II bob. Ikkinchi tartibli egri chiziq teglamasini soddalashtirish.

2.1-§. Ikkinchi tartibli egri chiziqning invariantlari.

Faraz qilaylik bizga ikkinchi tartibli egri chiziq o’zining umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin.

a x²  2a xy  a y²  2a x  2a y  a  0
(2.1.1)

11 12 22 12 23 33

Quyidagi almashtirishni bajaraylik.

^{x  X cos  Y sin   x0 ,
} y  X sin   Y cos  y .

(2.1.2)

 0

Bu almashtirish natijasija (2.1.1) chizig’imizni tenglamasi quyidagi ko’rinishni oladi.

A x²  2a xy  a y²  2a x  2a y  a  0
(2.1.3)

11 12 22 13 23 33

Umumiy holda almashtirish natijasida (2.1.1) chiziqning koeffitsentlari

o’zgaradi. Ammo (2.1.1) chiziqning koeffitsentlari bog’liq bo’lgan shunday I (a_ij )

funktsiyani tuzish mumkinki, bu funktsiyaning qiymati almashtirish bajarilganidan so’ng hosil bo’lgan chiziq tenglamasidagi koeffitsentlardagi

qiymati o’zgarmaydi, ya’ni
I (a_ij )  I ( A_ij ) .

SHunday funktsiyalarga (2.1.1) chiziqning almashtirishga nisbatan invarianti deyiladi.

Endi (2.1.1) chiziq tenglamasi uchun quyidagi almashtirishni bajaraylik,

ya’ni
(oxy)
koordinatalar sistemasini koordinata boshi atrofida ^ burchakka

buramiz

^{x  xcos  ysin }


^ y  x^sin   y^cos.

(2.1.4)

Natijada (2.1.1) chiziq tenglamasi yangi nisbatan quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz.
(ox^y^)
koordinatalar sistemasiga

a^ x^2  2a^ x^y^  a^ y^2  2a^ x^  2a^ y^  a^  0
(2.1.5)

11 12 22 13 23 33

bu yerda

^a1^1
 a₁₁
cos²   2a
cos sin   a₂₂
sin ² 

12
^a1^2
 a₁₁
sin  cos  a₁₂
cos²   a
sin ²   a
sin  cos

12

22
^a2^2
 a₁₁
sin ²   2a
sin  cos  a₂₂
cos² 
(2.1.6)

12
a₁^₃  a₁₃ cos  a₂₃ sin 

a₂^₃  a₁₃ sin   a₂₃ cos


^a3^3 ^{ a}33

Teorema:

Berilgan (2.1.1) chiziq uchun shunday
(ox^y^)
koordinatalar sistemasi

mavjudki, bu sistemaga nisbatan (2.1.1) chiziq tenglamasida x va y

o’zgaruvchilarni ko’paytmasi qatnashmaydi.

Isbot:

uchun
Haqiqatdan ham shunday ^ burchak mavjudligini ko’rsatamiz. Buning
a₁^2  0 tenglamani yechamiz.

^a1^2
 a₁₁
sin  cos  a₁₂
cos²   a
sin ²   a
sin  cos  0

12

22
yoki


 ^{a11  a22} sin 2  a
₂ 12
cos 2  0

bundan esa quyidagiga ega bo’lamiz.


Ctg 2  ^{a11  a22}
2  a₁₂
(2.1.7)

Bu hosil bo’lgan (2.1.7) tenglama
a₁₁, a₂₂ va
^a12
lar har qanday son

bo’lganda ham yechimga ega bo’lganligi uchun
^ burchakni mavjudligi kelib chiqadi.
a₁^₂  0
shartni qanoatlantiruvchi

Agar
(ox^) va
(oy^)
o’qlarni yo’nalishini
a₁^2  0 tenglama yechimi bo’yicha

tanlasak (2.1.5) chiziq tenglamasidagi koeffitsentlarni hisoblash biroz yengillashadi, ya’ni

a₁^₂  (a₁₁ cos  a₁₂ sin  ) sin   (a₂₁ cos  a₂₂ sin  ) cos  0

yoki


a₁₁ cos  a₁₂ sin _ a₂₁ cos  a₂₂ sin _{ }

(2.1.8)

cos sin

Bu (2.1.8) tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin.




^{(a11  ) cos  a12 sin   0}
_a₂₁ cos  (a₂₂  ) sin   0

(2.1.9)

Hosil bo’lgan bu (2.1.9) sistema birgalikda bo’lishi uchun quyidagi shart bajarilishi kerak

a₁₁  
^a21
^a12 _{ 0}
a₂₂  

yoki

²  (a  a )  a a  a²  0
(2.1.10)

11 22 11 22 12

Bu (2.1.10) tenglama (2.1.1) chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

Xarakteristik tenglamani ildizlarini ₁
va ₂
deb belgilasak. (2.1.9) sistemani

yechimlari bo’lmish tg₁
va tg ₂
larga (2.1.1) chiziqni bosh yo’nalishlari deyiladi.

tg_1
 ₁  a_{11 }
^a12
^a21
₁  a₂₂
va tg_2
 ₂  a_{11 }
^a12
^a21
₂  a₂₂
(2.1.11)

Isbot qilish mumkin
tg₁  tg₂  1

Agar
(ox^)
o’q yo’nalishini
tg₁
bo’yicha,
(oy^)
o’q yo’nalishini
tg ₂
bo’yicha

tanlasak
a₁^2  0 bo’lib
a₁^₁  ₁
ga a₂^{ 2}  ₂ ga teng bo’ladi.

Haqiqatdan ham ₁
(2.1.10) tenglamani ildizi bo’lsin, u holda

quyidagilarga ega bo’lamiz.


a₁₁ cos  a₁₂ sin   ₁ cos ,
a₂₁ cos  a₂₂ sin   ₁ sin .

(2.1.12)

Bu ifodalarni
a₁^2 ga olib borib qo’yamiz

a₁^₂  ₁ cos sin   ₁ cos sin   0

a^  (a
cos  a sin  ) cos

• 
  (a
  

cos  a sin  ) sin    cos² 
  sin ²   

11 11
1 12 1
1 21
1 22 1 1 1
1 1 1 1

a₁^₂  ₂
tengligini ko’rsatish mumkin.

Ikkinchi tomondan (2.1.6) dan
a₁^₁  a₂^ ₂  a₁₁  a₂₂
ekanligini ko’rishimiz

mumkin, bunda esa
₁  ₂  a₁₁  a₂₂ ekanligi kelib chiqadi.

Natijada (2.1.1) chiziq tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

 x^2   y^2  2a^ x^  2a^ y^  a^  0
(2.1.13)

1 2 13 23 33

Bosh yo’nalish tg
₁  a₁₁

a


1
12
hisoblangandan so’ng

sin ₁
 , cos_1
 1

larni hisoblab topamiz, so’ngra (2.1.6) dagi
a₁^3 va
a₂^{ 3} koeffitsentlar topiladi.

Endi ikkinchi tartibli egri chiziqning invariantlarini topishda asosiy rol o’ynaydigan quyidagi teoremani keltiramiz. Buning uchun quyidagi tushunchalar kerak bo’ladi, ya’ni bizga ikki o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan kvadratik forma berilgan bo’lib

Ô(x, y)  a x²  2a xy  a y²
(2.1.14)

11 12 22

uning matritsasi

^{ a}11 ^a12 ^

A  ^
 ^a21

^a22 

bo’lsin.

Quyidagi chiziqli almashtirishni bajaraylik

^{x  b11x  b12y}

(2.1.15)

^ y  b x^  b y^
 21 22

bu almashtirishni matritsasi

^{ b}11 ^b12 ^
B  ^{ }
b b
 21 22 

bo’lsin.

Teorema:

Agar (2.1.14) kvadratik forma uchun (2.1.15) chiziqli almashtirish bajarilgan bo’lsa, u holda hosil bo’lgan yangi kvadratik forma matritsasini determinanti, berilgan kvadratik forma matritsasi determinantini almashtirish matritsasi determinantini kvadratiga yo’naltirilganiga teng bo’ladi, ya’ni

^a1^1
^a2^ 1
^a1^2 _
^a2^ 2
^a11 ^a21
^a12 _
^a22
^b11
^b21
^b12

2
^b22

(2.1.16)

Yuqoridagi teoremaga ko’ra (2.1.1) ni burishga nisbatan invariantlarni topamiz. Quyidagi almashtirishni bajaraylik

^{x  xcos  ysin }


^ y  x^sin   y^cos

u holda quyidagilarga ega bo’lamiz

a x²  2a xy  a y²  a^ x^2  2a^ x^y^  a^
y^2
(2.1.17)

11 12 22 11 12 22

ikkinchi tomondan

x²  y²  x^2  y^2 (2.1.18)

Bu (2.1.17) va (2.1.18) lardan har qanday  haqiqiy son uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.

a x²  2a xy  a y²  (x²  y² )  a^ x^2  2a^ x^y^  a^
y^2  (x^2  y^2 )

11 12 22 11 12 22

yoki

(a  )x²  2a xy  (a  ) y²  (a^  )x^2  2a^ x^y^  (a^
 ) y^2
(2.1.19)

11 12 22 11 12 22

Yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra quyidagini yozishimiz mumkin.

a₁^₁  
^a1^2
_ a₁₁  
^a12
_ cos

• 
  sin  ²
  

^a2^ 1
a₂^ ₂  
^a21
a₂₂  
sin 
cos

Hosil bo’lgan determinantlarni hisoblaymiz.

²  (a^
 a^
)  a^ a^
 a^2  ²  (a

• 
  a )  a a
  

• 
  a²
  

11 22
11 22 12
11 22
11 22 12

Bu tenglikdan quyidagilarga ega bo’lamiz.

I₁  a₁^₁  a₂^ ₂  a₁₁  a₂₂

_{I } ^a1^1
^a1^2 _ ^a11
^a12

2
^a2^ 1
^a2^ 2 ^a21
^a22

Invariantni ta’rifiga ko’ra invariantlari bo’ladi.
I₁ va I₂
lar (2.1.1) chiziqni burishga nisbatan

Berilgan (2.1.1) chiziqni burishga nisbatan boshqa invariantlarini topish uchun uch o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan quyidagi kvadratik formani qaraymiz.

Ô(x, y,t)  a x²  2a xy  a y²  2a xt  2a yt  a t ²
(2.1.20)

11 12 22 13 23 33

Quyidagi almashtirishni bajaraylik

^{x  xcos  ysin }


^ y  x^sin   y^cos


^t  t^

(2.1.21)

Natijada yangi kvadratik formaga ega bo’lamiz

Ô(x^, y^,t^)  a^ x^2  2a^ x^y^  a^ y^2  2a^ x^t^  2a^ y^t^  a^ t^2
11 12 22 13 23 33


x²  y²  x^2  y^2

Yuqoridagidek mulohazalardan so’ng quyidagiga ega bo’lamiz.

(a  )x²  2a xy  (a  ) y²  2a xt  2a yt  a t ² 

11 12 22 13 23 33

 (a^  )x^2  2a^ x^y^  (a^  ) y^2  2a^ x^t^  2a^ y^t^  a^ t^2

11 12 22 13 23 33


yoki

a₁^₁  
^a1^2
^a1^3
a₁₁  
^a12
^a13
cos

• 
  sin  0 ²
  

^a2^ 1
a₂^ ₂  
a₂^ ₃ 
^a21
a₂₂  
a₂₃  sin 
cos 0

^a3^1
^a3^2
^a3^3
^a31
^a32
a₃₃ 0 0 1

Determinantlarni hisoblaymiz
 a^ a^


a^ a^ 


^a1^1


^a1^2


^a1^3

a^
a^ ²  ^{ 11}
13 _ 22
^{23 }  a^ a^
a^ 

33
_ 3 1
^a3^3
^a3^2
^a3^3 _
21
^a3^1
22
^a3^2
23
^a3^3

 a a


a a 
^a11
^a12
^a13

 a ²  ^{ 11}
13 _ 22
^{23 }  a a a

a
33
_ 31
^a33
^a32
^a33 _
21 22 23
a a a

31 32 33


bu yerdan

^a1^1
^a1^2
^a1^3
^a11
^a12
^a13

I₃  a₂^ ₁
^a2^ 2
^a2^ 3 ^{ a}21
^a22
^a23 ^,

^a3^1
^a3^2
^a3^3
^a31
^a32
^a33

_{K } ^a1^1
^a1^3 _ ^a2^ 2
^a2^ 3 _ ^a11
^a13 _ ^a22
^a23 _,

1
^a3^1
^a3^3 ^a3^2
^a3^3 ^a31
^a33 ^a32
^a33

K₂  a₃^₃  a₃₃ larga ega bo’lamiz.

Shunday qilib (2.1.1) chiziqning burishga nisbatan invariantlari bo’lar ekan.
I₁, I₂ , I₃ , K₁, K₂ - lar

Endi (2.1.1) chiziqning parallel ko’chirishga nisbatan invariantlarini topamiz. Buning uchun quyidagi parallel ko’chirishni bajaraylik

^{x  X  x0
} y  Y  y

(2.1.22)

 0

natijada (2.1.1) chiziq tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

a ( X  x )²  2a
(x  X )(y
 Y )  a
(Y  y )²  2a
(x  X )  2a
( y  Y )  a  0

11 0
12 0 0
22 0
13 0
23 0 33

yoki

a^ X ²  2a^ XY  a^ Y ²  2a^ X  2a^ Y  a^  0 (2.1.23)
11 12 22 13 23 33

bu yerda

a₁^₁  a₁₁, a₁^₂  a₁₂,
a₂^ ₂  a₂₂, a₁^₃  a₁₁x₀  a₁₂ y₀  a₁₃,

a^  a x  a
y  a , a^  a x²  2a
x y  a
y²  2a

24. 
     2a
    
25. 
     a
    

(2.1.24)

23 21 0
22 0
23 33
11 0
12 0 0
22 0
13 0
23 0 33

Hosil bo’lgan (2.1.24) ifodalardan ko’rinadiki
^a11^{, a}12^{, a}22
koeffitsentlar

(2.1.1) chiziqning parallel ko’chirishga nisbatan invariantlari bo’lar ekan. Boshqa invariantlarini topish uchun uch o’zgaruvchiga kvadratik formani qaraymiz.

Ô(x, yt)  a x²  2a xy  a y²  2a xt  2a yt  a t ²
11 12 22 13 23 33

Quyidagi almashtirishni bajaramiz

^{x  X  x0 T ,}



0
^ y  Y  y T ,


^t  T .
Natijada quyidagi kvadratik formaga ega bo’lamiz.


Ô^( X ,Y ,T )  a^ X ²  2a^ XY  a^ Y ²  2a^ XT  2a^ YT  a^ T ²
11 12 22 13 23 33

Bizga ma’lum teoremaga ko’ra quyidagi tenglikni yozishimiz mumkin.

^a1^1
^a1^2
^a1^3
^a11
^a12
a₁₃ 1 0 ₀

x

2
^a2^ 1
^a2^ 2
^a2^ 3 ^{ a}21
^a22
a₂₃  0 1 y₀

^a3^1
^a3^2
^a3^3
^a31
^a32
a₃₃ 0 0 1

yoki

^a1^1
^a1^2
^a1^3
^a11
^a12
^a13

I₃  a₂^ ₁
^a2^ 2
^a2^ 3 ^{ a}21
^a22
^a23

^a3^1
^a3^2
^a3^3
^a31
^a32
^a33

Shunday qilib (2.1.1) chiziqning parallel ko’chirishga nisbatan invariantlari

^a11^{, a}12^{, a}22 ^,
I₃ - lar bo’lar ekan.