Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi. Har qanday to’g’ri
chiziqning vaziyati uning ikkita har xil nuqtasi bilan aniqlanadi. O, e→ , e→
affin
1 2
reperda u to’g’ri chiziqning
M1 x1, y1 , M 2 x2 , y2 nuqtalari ma’lum bo’lsin. SHu
to’g’ri chiziqning tenglamasini keltirib chiqaraylik. Qaralayotgan to’g’ri
chiziqning yo’naltiruvchi vektori sifatida
u→ M M
x2
x1, y2
1
2
qilish mumkin, shuning uchun (1.1.6) ga asosan u to’g’ri chiziq ushbu
x x1
x2 x1
y y1 y2 y1
(1.1.8)
tenglama bilan ifodalanadi. Bu berilgan ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziqning tenglamasidir.
To’g’ri chiziqning kesmalari bo’yicha tenglamasi. u to’g’ri chiziq
Ox o’qni A(a,0) nuqtada, Oy o’qni esa B(0, b) nuqtada kessin va koordinatalar
boshidan o’tmasin, ya’ni
a 0,
b 0
bo’lsin. Bu holda ikki nuqtadan o’tgan
to’g’ri chiziqning tenglamasi (33) quyidagi ko’rinishni oladi:
x a y
yoki
x y 1.
(1.1.9)
(1.1.9) da a, b sonlar to’g’ri chiziqning koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalaridir. Shuni hisobga olib, (1.1.9) to’g’ri chiziqning kesmalari bo’yicha tenglamasi deb ataladi.
misol. Uchlarining koordinatalari A(-3, 2), B(2, 4) va C(5, -4) bo’lgan ABC
uchburchak berilgan. Uning V uchidan chiqqan medianasi tenglamasini tuzing.
Echish. V1 nuqta AS tomonning o’rtasi bo’lsin. U holda bizga ma’lum formulaga ko’ra V1(1, -1). V va V1 nuqtalarning koordinatalarini (33) tenglamaga qo’ysak (bunda M1=V, M2=B1) ,
x 2
1 2
y 4
1 4
yoki
5x y 6 0.
Bu VV1 mediananing tenglamasi.
misol. Abstsissalar o’qidan 2 birlik, ordinatalar o’qidan -3 birlik kesmalar ajratgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.
Echish. Berilishiga ko’ra a=2, b=-3, u holda (34) tenglama
x y
1 yoki
2 3
x y 1 ko’rinishda bo’lib, bu izlangan to’g’ri chiziqning tenglamasidir.
2 3
To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi. Avvalo to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. u→ vektor
e→ , e→ bazisda a , a koordinatalarga ega va a 0
bo’lsin, u
1 2 1 2 1
holda
a2 k son u vektorning burchak koeffitsienti deyiladi.
a1
Teorema. Kollinear vektorlarning burchak koeffitsientlari o’zaro teng.
Isbot. Haqiqatan, u→
v→ vektorlar berilgan bo’lib, ular
e→ , e→
bazisga
1 2
nisbatan
u→(a , a ), v→(b ,b )(a 0, b 0)
koordinatalarga ega bo’lsin hamda k1 , k2
1 2 1 2 1 1
mos ravishda bu vektorlarning burchak koeffitsientlari bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
a
1
k a2
1
va k b2 .
b
2
1
2 1
u→ v→
bo’lgani uchun shunday t son mavjudki,
u→ tu→
yoki
2
a tb , a
tb
b1 b2 b2
a2
yoki
k k .
1 1 2
a1 a2
b1 a1
Xulosa. Bita to’g’ri chiziqqa parallel barcha vektorlarning burchak koeffitsientlari o’zaro teng. k son to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi.
Endi to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasini keltirib chiqaraylik.
Bitta nuqtasi va burchak koeffitsientli to’g’ri chiziqning tekislikdagi vaziyatini to’la aniqlaydi. Oy o’qqa parallel to’g’ri chiziqlar uchun burchak koeffitsient mavjud emas. Endi Oy o’qqa parallel bo’lmagan u to’g’ri chiziq M 0 x0 , y0 nuqtadan o’tsin va k ga teng burchak koeffitsientga ega bo’lsin. u ning
tenglamasini tuzamiz. (1.1.7) ga asosan
k a2 , demak,
a1
a1 0 shartda
y y0
a2
a1
(x x0
) , ammo
y y0 k(x x0 )
(1.1.10)
yoki
y kx b ,
bunda
b y0 kx0 . (1.1.11)
(1.1.11) tenglama to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi
deyiladi.
Misol. R(2, -3) nuqtadan o’tuvchi va burchak koeffitsienti chiziq tenglamasini tuzing.
3 bo’lgan to’g’ri
4
Echish. Berilganlarga asosan tenglamaga qo’yamiz:
x0 2,
y0 3,
k 3
4
bo’lib, bularni (35)
y (3) 3 (x 2)
4
yoki
3x 4 y 18 0.
To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi. To’g’ri chiziqning yuqorida keltirib chiqarilgan (1.1.5) – (1.1.9), (1.1.11) tenglamalarining har birini olib solishtirsak, ular umumiy ko’rinishdagi
Ax By C 0 (1.1.12)
ikki noma’lumli birinchi darajali tenglamaning hususiy holllari ekanini ko’ramiz.
Endi quyidagicha savol tug’iladi: aksincha, (1.1.12) ko’rinishdagi tenglama to’g’ri chiziqni ifoda etadimi?
Teorema. x, y o’zgaruvchilarga nisbatan birinchi darajali Ax By C 0
(bu yerda
aniqlaydi.
A2 B2 0 ) algebraik tenglama affin reperga nisbatan to’g’ri chiziqni
Isbot. Bu yerda ikki holni tekshiramiz.
B 0. Berilgan tenglamani
y A x C
B B
ko’rinishda yozish mumkin. Endi bu tenglamani yuqoridagi
y kx b
tenglama
bilan solishtirsak,
k A , b C
ni hosil qilamiz. Demak,
Ax By C 0
B B
tenglama
B 0 shartda
y kx b
ko’rinishni oladi, uning esa to’g’ri chiziqni
ifodalashini bilamiz. Shunday qilib, umumiy ko’rinishli
Ax By C 0
tenglama
ham
B 0 da biror to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
B 0 . Bu holda
A2 B2 0
munosabatga ko’ra
A 0 bo’lib,
Ax By C 0
tenglama
x C
A
ko’rinishni oladi. Bunday tenglama Oy o’qqa
parallel to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Demak, ikkala hol uchun ham teorema kuchga ega.
To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi
Ax By C 0 (1.1.12)
berilgan bo’lsin, bunda
k A a2 , demak, to’g’ri chiziqning u→
B a1
yo’naltiruvchi vektorining koordinatalari sifatida –B, A sonlarni qabul qilish
mumkin, ya’ni umumiy tenglamasi bilan berilgan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi
vektori sifatida
u→(B, A) vektorni olish mumkin.
Misol. Uchlarining koordinatalari
L(3, 1), M (2,3),
N (2,1) bo’lgan LMN
uchburchak berilgan. Uchburchakning L uchidan MN tomoniga parallel bo’lib o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.
Echish. Izlangan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori uchun MN
vektorni olish mumkin, uning koordinatalari
MN (0, 2) A 2,
B 0. To’g’ri
chiziqning
L(3,1) nuqtadan o’tishini e’tiborga olamiz.
2 (3) 0 (1) C 0 .
C 6 :
A, B, C ning topilgan qiymatlarini (1.1.12) ga qo’yamiz:
x 3 0 yoki
x 3 . Bu izlanayotgan tenglamadir.
Endi to’g’ri chiziqning
AX By C 0
umumiy tenglamasini tekshiramiz.
C 0 . Bu holda tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: AX By 0 . Bu
to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi, chinki uni (0, 0) qanoatlantiradi. Aksincha, to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tsa, u holda
A 0 B 0 C 0C 0 .
2. A 0 .
1
1
By C 0 . (1.1.13)
Bu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi
u→(B,0)u→ Be→
vektori
e→ vektorga
kollinear, demak, u Ox o’qqa parallel. yozish mumkin:
B 0
bo’lganda (1.1.13) ni quyidagicha
y b , bu yerda b C .
A
SHunday qilib,
y b
tenglama Ox o’qqa parallel va ordinatalar o’qini
0, C nuqtada kesib o’tadigan to’g’ri chiziqni aniqlaydi.
B
Agar
A 0, C 0 By 0 y 0 (chunki
B 0 ),
y 0 esa Ox o’qning
tenglamasidir, chunki bu tenglama bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziq Ox o’qqa parallel va Oy o’qdan b 0 kesma ajratadi.
3. B 0 . Bunda 2) holdagiga o’hshash to’g’ri chiziq Oy o’qqa parallel
joylashadi va bu holda ifodalaydi.
C 0 bo’lsa Ax 0 x 0, to’g’ri chiziq Oy o’qning o’zini
Do'stlaringiz bilan baham: |