Invariantlar

Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi. Har qanday to’g’ri

chiziqning vaziyati uning ikkita har xil nuqtasi bilan aniqlanadi. O, e^→ , e^→ 
affin

1 2

reperda u to’g’ri chiziqning
M₁ x₁, y₁ , M ₂ x₂ , y₂ nuqtalari ma’lum bo’lsin. SHu

to’g’ri chiziqning tenglamasini keltirib chiqaraylik. Qaralayotgan to’g’ri

chiziqning yo’naltiruvchi vektori sifatida
u^→  M M
x₂
 x₁, y₂

• 
  y₁vektorni qabul
  

1

2
qilish mumkin, shuning uchun (1.1.6) ga asosan u to’g’ri chiziq ushbu

x  x_{1 }
x₂  x₁
y  y₁ y₂  y₁
(1.1.8)

tenglama bilan ifodalanadi. Bu berilgan ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziqning tenglamasidir.

3. 
   To’g’ri chiziqning kesmalari bo’yicha tenglamasi. u to’g’ri chiziq
   

Ox o’qni A(a,0) nuqtada, Oy o’qni esa B(0, b) nuqtada kessin va koordinatalar

boshidan o’tmasin, ya’ni
a  0,
b  0
bo’lsin. Bu holda ikki nuqtadan o’tgan

to’g’ri chiziqning tenglamasi (33) quyidagi ko’rinishni oladi:

x  a _ y
yoki
^x  ^y  1.
(1.1.9)

• 
  a b a b
  

(1.1.9) da a, b sonlar to’g’ri chiziqning koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalaridir. Shuni hisobga olib, (1.1.9) to’g’ri chiziqning kesmalari bo’yicha tenglamasi deb ataladi.

1. 
   misol. Uchlarining koordinatalari A(-3, 2), B(2, 4) va C(5, -4) bo’lgan ABC
   

uchburchak berilgan. Uning V uchidan chiqqan medianasi tenglamasini tuzing.

Echish. V₁ nuqta AS tomonning o’rtasi bo’lsin. U holda bizga ma’lum formulaga ko’ra V₁(1, -1). V va V₁ nuqtalarning koordinatalarini (33) tenglamaga qo’ysak (bunda M₁=V, M₂=B₁) ,

x  2 _
1 2
y  4


1 4

yoki

5x  y  6  0.

Bu VV₁ mediananing tenglamasi.

2. 
   misol. Abstsissalar o’qidan 2 birlik, ordinatalar o’qidan -3 birlik kesmalar ajratgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.
   

Echish. Berilishiga ko’ra a=2, b=-3, u holda (34) tenglama
x _ y
1 ^yoki

2  3
^x  ^y  1 ^{ko’rinishda bo’lib, bu izlangan to’g’ri chiziqning tenglamasidir.}
2 3

4. 
   To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi. Avvalo to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti tushunchasini kiritamiz.
   

Ta’rif. u^→ vektor
e^→ , e^→ bazisda a , a koordinatalarga ega va a  0
bo’lsin, u

1 2 1 2 1

holda
^a2  k son u vektorning burchak koeffitsienti deyiladi.
a₁

Teorema. Kollinear vektorlarning burchak koeffitsientlari o’zaro teng.

Isbot. Haqiqatan, u^→
v^→ vektorlar berilgan bo’lib, ular
e^→ , e^→
bazisga

1 2

nisbatan
u^→(a , a ), v^→(b ,b )(a  0, b  0)
koordinatalarga ega bo’lsin hamda k₁ , k₂

1 2 1 2 1 1
mos ravishda bu vektorlarning burchak koeffitsientlari bo’lsin. Ta’rifga ko’ra

a

1
k  ^a2
1
va k  ^b2 .

b

2
1

2 1
_u→ _v→
bo’lgani uchun shunday t son mavjudki,
u^→  tu^→
yoki

2
a  tb , a
 tb
_ b_{1 } b_{2 } b_2
 a₂
yoki
k  k .

1 1 2
a₁ a₂
b₁ a₁

Xulosa. Bita to’g’ri chiziqqa parallel barcha vektorlarning burchak koeffitsientlari o’zaro teng. k son to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi.
Endi to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasini keltirib chiqaraylik.
Bitta nuqtasi va burchak koeffitsientli to’g’ri chiziqning tekislikdagi vaziyatini to’la aniqlaydi. Oy o’qqa parallel to’g’ri chiziqlar uchun burchak koeffitsient mavjud emas. Endi Oy o’qqa parallel bo’lmagan u to’g’ri chiziq M ₀ x₀ , y₀  nuqtadan o’tsin va k ga teng burchak koeffitsientga ega bo’lsin. u ning

tenglamasini tuzamiz. (1.1.7) ga asosan


k  ^a2 , demak,
a₁
a₁  0 shartda
y  y_0
 a₂
a₁
(x  x₀
) , ammo

y  y₀  k(x  x₀ )
(1.1.10)

yoki

y  kx  b ,

bunda

b  y₀  kx₀ . (1.1.11)

(1.1.11) tenglama to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi
deyiladi.

Misol. R(2, -3) nuqtadan o’tuvchi va burchak koeffitsienti chiziq tenglamasini tuzing.
³ bo’lgan to’g’ri
4

Echish. Berilganlarga asosan tenglamaga qo’yamiz:
x₀  2,
y₀  3,
k  ³
4
bo’lib, bularni (35)

y (3)  ³ (x  2)
4
yoki
3x  4 y 18  0.

5. 
   To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi. To’g’ri chiziqning yuqorida keltirib chiqarilgan (1.1.5) – (1.1.9), (1.1.11) tenglamalarining har birini olib solishtirsak, ular umumiy ko’rinishdagi
   

Ax  By  C  0 (1.1.12)

ikki noma’lumli birinchi darajali tenglamaning hususiy holllari ekanini ko’ramiz.

Endi quyidagicha savol tug’iladi: aksincha, (1.1.12) ko’rinishdagi tenglama to’g’ri chiziqni ifoda etadimi?

Teorema. x, y o’zgaruvchilarga nisbatan birinchi darajali Ax  By  C  0

(bu yerda
aniqlaydi.
A²  B²  0 ) algebraik tenglama affin reperga nisbatan to’g’ri chiziqni

Isbot. Bu yerda ikki holni tekshiramiz.

1. 
   B  0. Berilgan tenglamani
   

y   ^A x  ^C
B B

ko’rinishda yozish mumkin. Endi bu tenglamani yuqoridagi
y  kx  b
tenglama

bilan solishtirsak,
k   ^A , b   ^C
ni hosil qilamiz. Demak,
Ax  By  C  0

B B

tenglama
B  0 shartda
y  kx  b
ko’rinishni oladi, uning esa to’g’ri chiziqni

ifodalashini bilamiz. Shunday qilib, umumiy ko’rinishli
Ax  By  C  0
tenglama

ham
B  0 da biror to’g’ri chiziqni ifodalaydi.

2. 
   B  0 . Bu holda
   

A²  B²  0
munosabatga ko’ra
A  0 bo’lib,

Ax  By  C  0

tenglama
x   ^C

A

ko’rinishni oladi. Bunday tenglama Oy o’qqa

parallel to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Demak, ikkala hol uchun ham teorema kuchga ega.

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi


Ax  By  C  0 (1.1.12)

berilgan bo’lsin, bunda
k   ^A  ^a2 , demak, to’g’ri chiziqning u^→

B a₁

yo’naltiruvchi vektorining koordinatalari sifatida –B, A sonlarni qabul qilish

mumkin, ya’ni umumiy tenglamasi bilan berilgan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi

vektori sifatida
u^→(B, A) vektorni olish mumkin.

Misol. Uchlarining koordinatalari
L(3, 1), M (2,3),
N (2,1) bo’lgan LMN

uchburchak berilgan. Uchburchakning L uchidan MN tomoniga parallel bo’lib o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.

Echish. Izlangan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori uchun MN

vektorni olish mumkin, uning koordinatalari



MN (0,  2) A  2,
B  0. To’g’ri

chiziqning
L(3,1) nuqtadan o’tishini e’tiborga olamiz.
 2  (3)  0  (1)  C  0 .

C  6 :
A, B, C ning topilgan qiymatlarini (1.1.12) ga qo’yamiz:
x  3  0 yoki

^{x  3} . Bu izlanayotgan tenglamadir.

Endi to’g’ri chiziqning


AX  By  C  0

umumiy tenglamasini tekshiramiz.

1. 
   C  0 . Bu holda tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: AX  By  0 . Bu
   

to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi, chinki uni (0, 0) qanoatlantiradi. Aksincha, to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tsa, u holda

A  0  B  0  C  0C  0 .

2. A  0 .

1

1
By  C  0 . (1.1.13)

Bu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi
u^→(B,0)u^→  Be^→
vektori
e^→ vektorga

kollinear, demak, u Ox o’qqa parallel. yozish mumkin:
B  0
bo’lganda (1.1.13) ni quyidagicha

^{y  b , bu yerda} b   ^{C .}
A

SHunday qilib,
y  b
tenglama Ox o’qqa parallel va ordinatalar o’qini

^{ 0,  C } nuqtada kesib o’tadigan to’g’ri chiziqni aniqlaydi.

 

B
 

Agar
A  0, C  0 By  0 y  0 (chunki
B  0 ),
y  0 esa Ox o’qning

tenglamasidir, chunki bu tenglama bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziq Ox o’qqa parallel va Oy o’qdan b  0 kesma ajratadi.

3. ^{B  0} . Bunda 2) holdagiga o’hshash to’g’ri chiziq Oy o’qqa parallel

joylashadi va bu holda ifodalaydi.
C  0 bo’lsa ^Ax  0 x  0^, to’g’ri chiziq Oy o’qning o’zini