Muxammadjonova muhlisa qizi O’quvchilarni irrasional tengsizliklar yechishga o’rgatish

I BOB. IRRATSIONAL TENGSIZLIKLAR VA ULARNI YECHISH USULLARI
1-§. IRRATSIONAL TENGSIZLIKLAR VA ULARNI YECHISH BO‘YICHA NAZARIY MA’LUMOTLAR

tengsizlikning aniqlanish sohasi deb ning shunday qiymatlar to’plamiga aytiladiki, bu qiymatlarda funksiya ham, funksiya ham aniqlangan bo’ladi. Demak, tengsizlikning aniqlanish sohasi – bu va funksiyalar aniqlanish sohalarining kesishmasi bo’ladi. tengsizlikning xususiy yechimi deb, uni qanoatlantiruvchi o’zgaruvchining ixtiyoriy qiymatiga aytiladi. Tengsizlikni yechimi deb, uning barcha xususiy yechimlari to’plamiga aytiladi. Bir o’zgaruvchili ikkita tengsizlik teng kuchli deyiladi, agar ularning yechimlari ustma-ust tushsa (xususan, agar ikkala tengsizlik yechimga ega bo’lmasa).

Agar tengsizlikning har bir xususiy yechimi tengsizlikning shakl almashtirish natijasida hosil qilingan tengsizlikning ham xususiy yechimi bo’lsa u holda tengsizlik tengsilikning natijasi deyiladi.
Teng kuchli tengsizliklarga olib keluvchi shakl almashtirishlar haqida quyidagi teoremalar o’rinli bo’ladi.
1-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismiga, berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasiga tegishli ning barcha qiymatlarida aniqlangan ixtiyoriy funksiyani qo’shib tengsizlik belgisini o’zgartirilmasdan qoldirsa, u holda berilgan tengsizlikga teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Demak, funksiya teorema shartini qanoatlantirsa, va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
Bu teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
2-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismini berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasiga tegishli ning barcha qiymatlarida faqat musbat qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy funksiyaga ko’paytirib (yoki bo’lib), tengsizlik belgisini o’zgartirilmasdan qoldirsa, u holda berilgan tengsizlikga teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Demak, bo’lsa, va tengsizliklar (yoki tengsizliklar) teng kuchli bo’ladi.
Bu teoremadan quyidagi hulosa kelib chiqadi: Agar tengsizlikning ikkala qismini ixtiyoriy musbat songa ko’paytirib (yoki bo’lib), tengsizlik belgisi saqlansa, u holda berilgan tengsizlikga teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
3-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismini berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasiga tegishli ning barcha qiymatlarida faqat manfiy qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy funksiyaga ko’paytirib (yoki bo’lib), tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o’zgartirilsa, u holda berilgan tengsizlikga teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Demak, bo’lsa, va tengsizliklar (yoki tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
Bu teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: Agar tengsizliknining ikkala qismini ixtiyoriy manfiy songa ko’paytirib (yoki bo’lib), tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o’zgartirilsa, u holda berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
4-teorema. tengsizlik berilgan bo’lib, uning aniqlanish sohasiga tegishli ning barcha qiymatlarida va bo’lsin. Agar tengsizliknig ikkala qismini bir hil natural darajaga ko’tarib, tengsizlik belgisi o’zgartirilmasdan qoldirilsa u holda belrilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Ma’lumki ifodalar ustida ayniy almashtirishlar bajarish natijasida ifodaning aniqlanish sohasi o’zgarishi mumkin, xususan o’xshash xadlarni ixchamlashda kasrlarni qisqartirishda ifodaning aniqlanish sohasi kengayishi mumkin. Bunda tengsizlikni yechish jarayonida qo’llanilgan almashtirish natijasida unga teng kuchli bo’lmagan tengsizlik hosil bo’lishi mumkin.
Masalan, tengsizlikni yechishda uning ikkala qismiga funksiyani qo’shib tengsizlikga teng kuchli quyidagi tengsizlik hosil qilamiz so’ngra bo’lib hosil qilamiz. Lekin tengsizlik yechimalarga ega, demak va tengsizliklar teng kuchli emasligini hosil qilamiz. ( tengsizlik tengsizlikning natijasi bo’ladi. Bunga sabab tengsizlik (1) tengsizlikga nisbatan kengroq aniqlanish sohasiga egadir. Bu kengayish (2) tengsizlikda o’xshash xadlarni ixchamlash natijasida paydo bo’ldi. Shuning uchun tengsizlikning aniqlanish sohasini kengayishiga olib keluvchi almashtirishlar bajarilgandan so’ng, yechimlar orasidan, berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasiga tegishli bo’lganlarini ajratib olish zarurdir.
Tengsizliklarni yechishda yuqorida ko’rib o’tilgan teoremalar va xulosalarga tayangan holda berilgan tengsizlik unga teng kuchli bo’lgan boshqa ancha sodda, tengsizlik bilan almashtiriladi; xosil bo’lgan tengsizlikni yana, soddaroq, lekin berilgan tengsizlikka teng kuchli bo’lgan tengsizlik bilan almashtiriladi va h. k.
Biz quyida tengsizliklarni teng kuchli o‘tish va natijaga o‘tish usuli bilan yechish haqida nazariy ma’lumotlar keltirib, irratsional tengsizliklarga doir misollarni yechishga ularni tatbiq etishni ko‘rib o‘tamiz.